【正文】 （a＋b）b）； 同理ab）． 總之，（λa）b＝0b＝｜λa｜｜b｜c(diǎn)os（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（a｜b｜c(diǎn)osθ＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（a（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設(shè)a，b夾角為θ，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與b的夾角為θ，∴（λa）b＝λ（ab＝b求四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律＝－10． ［練習(xí)］｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）ab． 解：ab｜≤｜a｜｜b｜（這與實(shí)數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120176。a＝｜a｜2，于是｜a｜＝ae＝｜a｜c(diǎn)os〈a，e〉．（2）設(shè)ac）與（ab）c＝a（bc）的不同．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情景如圖401所示，一個(gè)力f作用于一個(gè)物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計(jì)算這個(gè)力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算．W＝｜s｜｜f｜c(diǎn)osθ．其中｜f｜c(diǎn)osθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量．問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個(gè)向量來確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？二、建立模型“功”的模型中得到如下概念：已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作ab＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（ab＝b即AB⊥BC，AB⊥BD． 又知B，C，D三點(diǎn)不共線，所以AB⊥平面BCD，即旗桿和地面垂直．：直線l⊥平面α，垂足為A，直線AP⊥l（如圖187）． 求證：AP在α內(nèi)．證明：設(shè)AP與l確定的平面為β．如果AP不在α內(nèi)，則可設(shè)α與β相交于直線AM，因?yàn)閘⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β內(nèi)，過點(diǎn)Ａ有兩條直線垂直于l．這是不可能的，所以AP一定在α內(nèi)．［練習(xí)］ ：如圖188，在平面α內(nèi)有PA＝PC，PB＝PD．求證：PO⊥α．ABCD，O是它對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P在α外，且：空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求證：BC⊥AD．，有一個(gè)平面與一條已知直線垂直，問：另一平面與已知直線的位置關(guān)系怎樣？四、拓展延伸，在空間，如果直線ｍ，ｎ都是線段AA′的垂直平分線，設(shè)ｍ，ｎ確定的平面為α，證明：（1）在平面α內(nèi)，通過線段AA′中點(diǎn)B的所有直線都是線段AA′的垂直平分線．（2）線段AA′的任一條垂直平分線都在α內(nèi)．（1），如果平面α通過線段AA′的中點(diǎn)O，且垂直于直線AA′，那么平面α叫作線段AA′的垂直平分面（或中垂面），并稱點(diǎn)A，A′關(guān)于平面α成鏡面對(duì)稱，平面α叫作A，A′的對(duì)稱平面．如圖1810（2），如果一個(gè)圖形Ｆ內(nèi)的所有點(diǎn)關(guān)于平面α的對(duì)稱點(diǎn)構(gòu)成幾何圖形F′，則稱F，F(xiàn)′關(guān)于平面α成鏡面對(duì)稱．F到F′的圖形變換稱為鏡面對(duì)稱變換．如果一個(gè)圖形Ｆ通過鏡面對(duì)稱變換后的圖形仍是它自身，則這個(gè)圖形被稱為鏡面對(duì)稱圖形． 根據(jù)以上定義，探索與研究以下問題：（1）線段的中垂面有哪些性質(zhì)？（2）你學(xué)過的空間圖形，有哪些是鏡面對(duì)稱圖形？（3）寫一篇研究鏡面對(duì)稱的小論文，探索鏡面對(duì)稱的性質(zhì)和應(yīng)用．點(diǎn) 評(píng)這篇案例設(shè)計(jì)完整，構(gòu)思嚴(yán)謹(jǐn)，突出的特點(diǎn)是把學(xué)科灰色的理論和鮮活的實(shí)際生活相結(jié)合，使學(xué)生能較好地理解和把握學(xué)科知識(shí)．同時(shí)，這篇案例注意了美育、科學(xué)精神和人文精神的滲透，能較好地培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，符合新課改精神．第三篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇__4043平面向量平面向量的數(shù)量積教材分析兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程和運(yùn)用過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣．任務(wù)分析兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來了一些困難．在學(xué)習(xí)時(shí)，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量．兩個(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積，其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定．兩向量的數(shù)量積“a．證明：（1）如圖194（2），因?yàn)锳D⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC． 因?yàn)槠矫鍭BD和平面ACD都過AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）如圖194（1），在Rt△BAC中，因?yàn)锳B＝AC＝ａ，所以BC＝ａ，BD＝DC＝．如圖194（2），△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝2＝ａ．得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60176。第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 19 平面與平面垂直平面與平面垂直教材分析兩個(gè)平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理是平面與平面位置關(guān)系的重要內(nèi)容．通過這節(jié)的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)：直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定和性質(zhì)定理形成了一套完整的證明體系，而且可以實(shí)現(xiàn)利用低維位置關(guān)系推導(dǎo)高維位置關(guān)系，利用高維位置關(guān)系也能推導(dǎo)低維位置關(guān)系，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的重要地位．這節(jié)課的重點(diǎn)是判定定理及性質(zhì)定理，難點(diǎn)是定理的發(fā)現(xiàn)及證明．教學(xué)目標(biāo)，以及兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，能運(yùn)用概念和定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算與證明．，邏輯思維能力，知識(shí)遷移能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法觀察、研究現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象的能力，整理知識(shí)、解決問題的能力．，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與、積極交流的主體意識(shí)和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神．任務(wù)分析判定定理證明的難點(diǎn)是畫輔助線．為了突破這一難點(diǎn)，可引導(dǎo)學(xué)生這樣分析：在沒有得到判定定理時(shí)，只有根據(jù)兩平面互相垂直的定義來證明，那么，哪個(gè)平面與這兩個(gè)平面都垂直呢？對(duì)性質(zhì)定理的引入，不是采取平鋪直敘，而是根據(jù)數(shù)學(xué)定理的教學(xué)是由發(fā)現(xiàn)與論證這兩個(gè)過程組成的，所以應(yīng)把“引出命題”和“猜想”作為本部分的重要活動(dòng)內(nèi)容．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情境，常用一根鉛垂的線吊在墻角上，這是為什么？（為了使墻面與地面垂直）？怎樣判定兩平面垂直，兩平面垂直有哪些性質(zhì)？二、建立模型如圖191，兩個(gè)平面α，β相交，交線為CD，在CD上任取一點(diǎn)B，過點(diǎn)B分別在α，β內(nèi)作直線BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直線CD⊥平面ABE．容易看到，∠ABE為直角時(shí)，給我們兩平面垂直的印象，于是有定義：如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，并且這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個(gè)平面互相垂直．平面α，β互相垂直，記作α⊥β． ［問 題］，鉛垂線在墻面內(nèi)，墻面與地面就垂直嗎？如圖191，只要α經(jīng)過β的垂線BA，則BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定義，知α⊥β．于是，有判定定理：定理 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則兩個(gè)平面互相垂直．“BA⊥β”和結(jié)論“α⊥β”．即是從平面與平面垂直出發(fā)，能否推出直線與平面垂直？，也就平面α內(nèi)滿足什么條件的直線才能垂直于平面β呢？讓學(xué)生用教科書、桌面、筆擺模型．通過模型發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α⊥β時(shí)，只有在一個(gè)平面（如α）內(nèi)，垂直于兩平面交線的直線（如BA）才會(huì)垂直于另一個(gè)平面（如β）．于是，有定理：定理 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．（先分析命題的條件和結(jié)論，然后畫出圖形，再結(jié)合圖形，寫出已知，求證）已知：如圖，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求證：AB⊥β．分析：要證AB⊥β，只需在β內(nèi)再找一條直線與ＡＢ 垂直，但β內(nèi)沒有這樣的直線，如何作出這條直線呢？因?yàn)棣痢挺?，所以可根?jù)二面角的定義作出這個(gè)二面角的平面角．在平面β內(nèi)過點(diǎn)B作BE⊥CD．因?yàn)锳B⊥CD，所以∠ABE是二面角αCDβ的平面角，并且∠ABE＝90176。即AB⊥BE．又因?yàn)镃D三、解釋應(yīng)用 ［例 題］：如圖，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD長(zhǎng)．β，BEβ，所以AB⊥β．解：連接BC． 因?yàn)锳C⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD． 因?yàn)锽D⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC． 所以，△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm），在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）． ：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜邊BC的高，以AD為折痕使∠BDC折成直角（如圖194）．求證：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）∠BAC＝60176。． ［練習(xí)］，有一個(gè)正三棱錐體的零件，P是側(cè)面ACD上一點(diǎn)．問：如何在面ACD上過點(diǎn)P畫一條與棱AB垂直的線段？試說明理由．：如圖196，在空間四邊形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中點(diǎn)． 求證：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD．四、拓展延伸能否將平面幾何中的勾股定理推廣到立體幾何學(xué)中去？試寫一篇研究性的小論文．點(diǎn) 評(píng)這篇案例結(jié)構(gòu)完整，構(gòu)思新穎．案例開始以一個(gè)生活中常見的例子引入問題，得到了兩平面垂直的定義．還是這個(gè)例子，改變了問法又得到了兩平面垂直的判定定理．即把學(xué)科理論和學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合，激起了學(xué)生探索問題的熱情．對(duì)性質(zhì)定理和判定定理的引入和證明也不是平鋪直敘，而是充分展現(xiàn)了定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程．通過學(xué)生的認(rèn)真參與，師生之間的民主交流，培養(yǎng)了學(xué)生的主體意識(shí)和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神．第二篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 18 直線與平面垂直直線與平面垂直教材分析直線與平面垂直是在研究了直線與直線垂直、直線與平面平行、平面與平面平行的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．它是直線與直線垂直的延伸，是學(xué)習(xí)習(xí)近平面與平面垂直以及有關(guān)距離、空間角、多面體、旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)．這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，并對(duì)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問題的能力和空間想象能力，起著十分重要的作用．直線與平面垂直的定