定積分的概念及性質(zhì)-文庫吧資料
2024-08-18 04:26本頁面
【正文】 y=f (x) 令分法無限變細 . . 分法越細，越接近精確值 1分割 (化整為零 ) 2 以直代曲 (以常代變 ) 3 求和 (積零為整 ) ????niii xfS1)(?iii xfS ??? )(?◇ 曲邊梯形的面積 f (?i) S a b . . . ???niii xf1)(lim ? 記S = ?ba xxf d )( . 2. 變速直線運動的路程 設(shè)某物體作直線運動 , 且 求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s. 已知速度 思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值． 解決步驟 : 1)分割 (大化小 ). 將它分成 在每個小段上物體經(jīng) 2)以直代曲 (常代變 ). 得 iii tvs ??? )(? ),2,1 ni ??n 個小段 過的路程為 3)求和 (近似和 ). 4) 取極限 . 上述兩個問題的 共性 : ? 解決問題的方法步驟相同 : “分割 (大化小 ) , 以直代曲 (常代變 ) , 求和 (近似和 ) , 取極限 ” ? 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同 : 特殊乘積和式的極限 設(shè)函數(shù) )( xf 在 ],[ ba 上有界，記 },m a x { 21 nxxx ???? ?? ，如果不論對 ],[ ba在 ],[ ba 中任意插入若干個分點 bxxxxxa nn ??????? ? 1210 ?把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個小區(qū)間，各小區(qū)間的長度依次為1???? iii xxx ， ),2,1( ??i ，在各小區(qū)間上任取一點 i? （ ii x??? ），作乘積 ii xf ?)( ? ),2,1( ??i并作和 iinixfS ?? ??)(1? ，二、定積分的定義 1. 定義 怎樣的分法，? ??ba Idxxf )( iinixf ????)(l i m10??被積函數(shù) 被積表達式 積分變量 積分區(qū)間],[ ba也不論在小區(qū)間 ],[ 1 ii xx ? 上點 i? 怎樣的取法， 只要當(dāng) 0?? 時，和 S 總趨于確定的極限 I ，我們稱這個極限 I 為函數(shù) )( xf在區(qū)間 ],[ ba 上的 定積分 ，記為 積分上限 積分下限 積分和 注意： （ 1 ） 積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， ?ba dxxf )( ?? ba dttf )( ?? ba duuf )(（ 2 ）定義中區(qū)間的分法和 i? 的取法是任意的 .（ 3 ）當(dāng)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的定積分存在時，而與積分變量的字母無關(guān) .稱 )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上 可積 . 當(dāng)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)時，定理 1 定理 2 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上有界，稱 )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上可積 .且只有有限個間斷點， 則 )( xf 在2. 可積的充分條件 : 區(qū)間 ],[ ba 上可積 .,0)( ?xf ? ?ba Adxxf )( 曲邊梯形的面積 ,0)( ?xf ? ??ba Adxxf )( 曲邊梯形的面積的負(fù)值 1A2A3A4A4321)( AAAAdxxfba? ?? ? ?定積分的幾何意義 各部分面積的代數(shù)和 幾何意義： 積取負(fù)號．軸下方的面在軸上方的面積取正號；在數(shù)和．之間的各部分面積的代直線的圖形及兩條軸、函數(shù)它是介于xxbxaxxfx?? ,)(?? ??例 1 利用定義計算定積分 .10 2dxx?解 將 ]1,0[ n 等分，分點為 nixi ? ， ( ni ,2,1 ?? )nio 1 xy2xy ?小區(qū)間 ],[ 1 ii xx ? 的長度 nx i 1?? ， ( ni ,2,1 ?? )取 ii x?? ， ( ni ,2,1 ?? )iinixf ???)(1? iinix?? ??21? ,12inii xx ?? ??nnini121???????? ?????niin12316)12)(1(13???? nnnn,121161 ?????? ??????? ?? nn ???? n0?dxx?10 2 iinix?? ???210l i m ???????? ??????? ?? ?? nnn 121161l i m .31?o 1 xyni2xy ?[注 ] 利用 ,133)1( 233 ????? nnnn 得 133)1( 233 ????? nnnn1)1(3)1(3)1( 233 ??????? nnnn??????1131312 233 ??????兩端分別相加 , 得 1)1( 3 ??n )21(3 n???? ?n?即 ??? nnn 33 23 ??nii123 3?2)1( ?nn n??? ??nii1261 )12)(1( ?? nnn)21(3 222 n??? ?例 2 利用定義計算定積分 .121 dxx?解 在 ]2,1[ 中插入分點 12 , ?nqqq ? ,典型小區(qū)間為 ],[ 1 ii qq ? ， （ ni ,2,1 ?? ）小區(qū)間的長度 )1(11 ????? ?? qqqqx iiii ,取 1?
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