【正文】
P=32AC ,∴?? ???? ??=32, 設(shè) OP= 3 k , A C= 2 k , 如圖 ① , 過點 O 作 OD ⊥ AC 于點 D , ∴ CD =12A C=k ,∵ ∠ O D C= ∠ O CP ,∠ O CD = ∠ POC ,∴ △ CD O ∽△ O CP , ∴?? ???? ??=?? ???? ??,∴ OC2= 3 k2, O C = 3 k , ∴ s i n ∠ CP O =?? ???? ??= 33. 例 3 [2 0 1 7 ,∴ OC ⊥ PC , ∵ OC 為半徑 ,∴ PC 是 ☉ O 的切線 . 例 3 [2 0 1 7 類型 3 雙切線型 問題 圖 Z6 12 解 : ( 1 ) 證明 : 如圖 ① , 連接 OC ,∵ AC ∥ OP ,∴ ∠ B A C= ∠ BOP ,∠ A CO = ∠ CO P , ∵ O A =O C ,∴ ∠ B A C= ∠ A CO ,∴ ∠ BOP= ∠ CO P , 在 △ O CP 和 △ OBP 中 , ?? ?? = ?? ?? ,∠ ?? ?? ?? = ∠ ?? ?? ?? ,?? ?? = ?? ?? , ∴ △ O CP ≌△ O B P ,∴ ∠ O CP = ∠ OBP , ∵ PB 是 ☉ O 的切線 ,∴ ∠ OBP= 9 0 176。 (3 ) 通過構(gòu)造矩形將 A 不直線 CM 上的點連線距離的最小值 d , B 不直線 CM 上的點連線距離的最小值 f 轉(zhuǎn)換為一條線段的長度 , 由同圓中弦之間的兲系 , 即可推得 d + f 的取值范圍 . 類型 3 雙切線型 問題 例 3 [2 0 1 7 , 根據(jù)切線的判定定理可證得結(jié)論 。 (2 ) 設(shè) OP=32AC , 求 ∠ CP O 的正弦值 。 ,∴ 四邊形 F NCA 是矩形 , ∴ F N=A C=32, NC=A F =32,∴ B N=12. 在 Rt △ FBN 中 , BF= 102,∴ 在 Rt △ FBM 中 ,sin ∠ ABF=?? ???? ??=950 10 . 類型 2 弦切型問題 例 3 [2 0 1 7 , ∴ △ AFM ∽△ BAC ,∴?? ???? ??=?? ???? ??,∵ DE= 3, ∴ A D =A F =A C=32, AB=52,∴ FM=910. 過點 F 作 FN ⊥ BC 于點 N ,∴∠ F NC= 9 0 176。 包頭 ] 如圖 Z6 1 1 , 在 Rt △ A CB 中 ,∠ A CB = 9 0 176。 , 以點 A 為圓心 , AC 長為半徑的圓交 AB 于點 D , BA 的延長線交 ☉ A 于點 E , 連接 CE , CD , F 是 ☉ A 上一點 , 點 F 不點 C 位于 BE 兩側(cè) , 且 ∠ F A B = ∠ ABC , 連接 BF. (1 ) 求證 :∠ B CD = ∠ BEC 。 , ∵ A D =A C ,∴∠ CD E = ∠ A CD , ∴∠ B CD = ∠ B E C. 類型 2 弦切型問題 5 . [2 0 1 8 , ∵ DE 是 ☉ A 的直徑 ,∴∠ D CE = 9 0 176。 昆明模擬 ] 如圖 Z6 1 0 , AB 為 ☉ O 的直徑 , C , D 為 ☉ O 上丌同于 A , B 的兩點 ,∠ ABD= 2 ∠ B A C , 連接 CD .過點 C 作 CE ⊥ DB , 垂足為 E , 直線 AB 不 CE 相交于 F 點 . (2 ) 當(dāng) BF= 5 , s i n F=35時 , 求 BD 的長 . 類型 2 弦切型問題 圖 Z6 10 解 : ( 1 ) 證明 :∵∠ A CB = 9 0 176。 s i n F= 3 . ∵ OC ∥ BE ,∴ △ FBE ∽△ FOC ,∴?? ???? ??=?? ???? ??, 設(shè) ☉ O 的半徑為 r , 則55 + ??=3??,∴ r=152. ∵ AB 為 ☉ O 的直徑 ,∴ AB= 15, ∠ ADB= 9 0 176。 (2 ) 當(dāng) BF= 5 , s i n F=35時 , 求 BD 的長 . 類型 2 弦切型問題 圖 Z6 10 解 : ( 1 ) 證明 : 如圖 , 連接 O C. ∵ O A =O C ,∴∠ 1 = ∠ 2 . 又 ∵∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 2, ∴∠ 3 = 2 ∠ 1 . 又 ∵∠ 4 = 2 ∠ 1, ∴∠ 4 = ∠ 3, ∴ OC ∥ DB. ∵ CE ⊥ DB ,∴ OC ⊥ CF . 又 ∵ OC 為 ☉ O 的半徑 ,∴ CF 為 ☉ O 的切線 . 解 : ( 2 ) 連接 AD , 在 Rt △ BEF 中 ,∵ ∠ BEF= 9 0 176。 ,☉ O 的半徑為 5 , s i n B= 35 , 求 CF 的長 . 類型 2 弦切型問題 圖 Z6 9 4 . [2 0 1 7 , 即 CF =CE . 由 s i n B=35, OA= 5, 得 A C= 6, 由勾股定理得 , B C= 8, ∵∠ B+ ∠ BDF= ∠ C F E ,∠ A CD + ∠ CD E = ∠ CE F ,∠ B= ∠ A C D ,∠ CF E = ∠ CE F , ∴∠ CD E = ∠ BDF ,∴ △ CE D ∽△ BFD ,∴?? ???? ??=?? ???? ??, 設(shè) CF =CE =x , 則?? ???? ??=8 ????① , 由 ∠ CF D = ∠ AED ,∠ F D C= ∠ EDA , 得 △ CF D ∽△ AED ,∴?? ???? ??=?? ???? ??=??6 ??② , 聯(lián)立 ①② 解得 x=247, 即 CF 的長為247. 3 . [2 0 1 8 ,∠ A CB = 9 0 176。 , ∵∠ O B C= ∠ A CD ,∴∠ O CA + ∠ A CD = 9 0 176。 ,☉ O 的半徑為 5 , s i n B= 35, 求 CF 的長 . 類型 2 弦切型問題 圖 Z6 9 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OC ,∵ O B =O C ,∴∠ O B C= ∠ O CB , ∵ AB 為 ☉ O 的直徑 ,∴∠ B CA = 9 0 176。 蘭州 ] 如圖 Z6 9, AB 為 ☉ O 的直徑 , C 為 ☉ O 上一點 , D 為 BA 延長線上的一點 ,∠ A CD = ∠ B. (1 ) 求證 : DC 為 ☉ O 的切線 。 陜西 ] 如圖 Z6 8, 已知 ☉ O 的半徑為 5, PA 為 ☉ O 的一條切線 , 切點為 A , 連接 PO 并延長交 ☉ O 于點 B , 過點A 作 AC ⊥ BP 交 ☉ O 于點 C , 交 PB 于點 D , 連接 BC , 當(dāng) ∠ P= 3 0 176。 . ∴∠ B CA = 6 0 176。 . ∵∠ AOP= 6 0 176。 (2 ) 求證 : BC ∥ PA. 圖 Z6 8 (2 ) 證明 :∵ AC ⊥ PB ,∠ P= 3 0 176。 陜西 ] 如圖 Z6 8, 已知 ☉ O 的半徑為 5, PA 為 ☉ O 的一條切線 , 切點為 A , 連接 PO 并延長交 ☉ O 于點 B , 過點A 作 AC ⊥ BP 交 ☉ O 于點 C , 交 PB 于點 D , 連接 BC , 當(dāng) ∠ P= 3 0 176。 s i n 6 0 176。 ,∴∠ AOD= 6 0 176。 東營 ] 如圖 Z6 7, CD 是 ☉ O 的切線 , 點 C 在直徑 AB 的延長線上 . (2 ) 若 BD= 23AD , A C= 3, 求 CD 的長 . (2 ) ∵ BD=23AD ,∴?? ???? ??=23. ∵∠ CA D = ∠ BDC ,∠ D CB = ∠ A CD ,∴ △ CB D ∽△ CD A . ∴?? ???? ??=?? ???? ??=?? ???? ??. ∵ A C= 3, ∴23=?? ??3.∴ CD = 2 . 圖 Z6 7 解 : ( 1 ) 連接 OA. ∵ PA 是 ☉ O 的切線 , 切點為 A ,∴∠ PAO= 90176。 .∴ 在 Rt △ ABD 中 ,∠ A+ ∠ ABD= 90176。 , 即 ∠ CD B + ∠ BDO= 90176。 東營 ] 如圖 Z6 7, CD 是 ☉ O 的切線 , 點 C 在直徑 AB 的延長線上 . ( 1) 求證 :∠ CA D = ∠ BDC 。 遂寧 ] 如圖 Z6 6, 過 ☉ O 外一點 P 作 ☉ O 的切線 PA 切 ☉ O 于點 A , 連接 PO 并延長 , 不 ☉ O 交于 C , D兩點 , M 是半圓 CD 的中點 , 連接 AM 交 CD 于點 N , 連接 AC , CM . (2 ) 若 ∠ P= 3 0 176。 ,∴ OA=12PO=12( P C+CO ) . 設(shè) ☉ O 的半徑為 r ,∵ P C= 2, ∴ r=12(2 +r ), 解得 r= 2, 又 ∵ CD 是直徑 ,