【正文】 35,∴ B E =B F , 即 OC ⊥ CD ,∴ DC 為 ☉ O 的切線 . 解 : ( 2 ) 由 ∠ CE F = 4 5 176。 .∴∠ P A C= ∠ B CA . ∴ BC ∥ PA. 類型 2 弦切型問題 2 . [2 0 1 7 =5 32. ∴ A C= 2 AD= 5 3 . 類型 2 弦切型問題 2 . [2 0 1 7 . ∵ AB 是 ☉ O 的直徑 ,∴∠ ADB= 9 0 176。 , 又 ∵∠ P= 3 0 176。 , P C= 2, 求 CM 的長 . 【分層分析】 (1 ) 要證 CM2=M N ,∴∠ AOD= 9 0 176。 , ∴ OD ⊥ DE ,∴ DE ⊥ AE. 3 . [2 0 1 8 ,∴∠ D= 1 8 0 176。 ,∠ BAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) D , 點(diǎn) O 在 AB 上 , 以點(diǎn) O 為圓心 , OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn) D , 分別交 AC , AB 于 E , F. (2 ) 若 BD= 2 3 , BF= 2, 求陰影部分的面積 ( 結(jié)果保留 π) . 解 : ( 2 ) 設(shè) O F =O D =x , 則 O B =O F +B F =x+ 2, 根據(jù)勾股定理得 : OB2=O D2+B D2, 即 ( x+ 2)2=x2+ 1 2 , 解得 : x= 2, 即 O D =O F = 2, ∴ OB= 2 + 2 = 4, ∵ 在 Rt △ ODB 中 , OD=12OB ,∴∠ B= 3 0 176。 (2 ) 若 BD= 2 3 , BF= 2, 求陰影部分的面積 ( 結(jié)果保留 π) . 【分層分析】 (1 ) 連接 OD , 證明 OD ∥ AC , 即可證得 ∠ ODB= 9 0 176。③ 構(gòu)造勾股定理模型 . 類型 1 角平分線型問題 例 1 [2 0 1 7 解 : ( 1 ) BC 不 ☉ O 相切 . 理由 : 連接 OD. ∵ AD 是 ∠ BAC 的平分線 ,∴ ∠ BAD= ∠ CA D . 又 ∵ O D =O A ,∴ ∠ OAD= ∠ ODA. ∴ ∠ CA D = ∠ ODA. ∴ OD ∥ A C. ∴ ∠ ODB= ∠ C= 9 0 176。 ,過點(diǎn) C 作 CD⊥ AF 交 AF 的延長線于點(diǎn) D ,垂足為點(diǎn) D. (1 ) 求扇形 OBC 的面積 ( 結(jié)果保留 π)。 , 又 ∵∠ AFB= ∠ D= ∠ D CG = 9 0 176。 咸寧 ] 如圖 Z6 5, 以 △ ABC 的邊 AC 為直徑的 ☉ O 恰為 △ ABC 的外接圓 ,∠ ABC 的平分線交 ☉ O 于點(diǎn)D , 過點(diǎn) D 作 DE ∥ AC 交 BC 的延長線于點(diǎn) E. (1 ) 求證 : DE 是 ☉ O 的切線 。 遂寧 ] 如圖 Z6 6, 過 ☉ O 外一點(diǎn) P 作 ☉ O 的切線 PA 切 ☉ O 于點(diǎn) A , 連接 PO 并延長 , 不 ☉ O 交于 C , D兩點(diǎn) , M 是半圓 CD 的中點(diǎn) , 連接 AM 交 CD 于點(diǎn) N , 連接 AC , CM . (1 ) 求證 : CM2=M N MA 。 東營 ] 如圖 Z6 7, CD 是 ☉ O 的切線 , 點(diǎn) C 在直徑 AB 的延長線上 . ( 1) 求證 :∠ CA D = ∠ BDC 。 ,∴∠ AOD= 6 0 176。 . ∵∠ AOP= 6 0 176。 ,☉ O 的半徑為 5 , s i n B= 35, 求 CF 的長 . 類型 2 弦切型問題 圖 Z6 9 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OC ,∵ O B =O C ,∴∠ O B C= ∠ O CB , ∵ AB 為 ☉ O 的直徑 ,∴∠ B CA = 9 0 176。 ,☉ O 的半徑為 5 , s i n B= 35 , 求 CF 的長 . 類型 2 弦切型問題 圖 Z6 9 4 . [2 0 1 7 , ∵ DE 是 ☉ A 的直徑 ,∴∠ D CE = 9 0 176。 , ∴ △ AFM ∽△ BAC ,∴?? ???? ??=?? ???? ??,∵ DE= 3, ∴ A D =A F =A C=32, AB=52,∴ FM=910. 過點(diǎn) F 作 FN ⊥ BC 于點(diǎn) N ,∴∠ F NC= 9 0 176。 (3 ) 通過構(gòu)造矩形將 A 不直線 CM 上的點(diǎn)連線距離的最小值 d , B 不直線 CM 上的點(diǎn)連線距離的最小值 f 轉(zhuǎn)換為一條線段的長度 , 由同圓中弦之間的兲系 , 即可推得 d + f 的取值范圍 . 類型 3 雙切線型 問題 例 3 [2 0 1 7 黔南州 ] 如圖 Z6 13, CE 是 ☉ O 的直徑 , BC 切 ☉ O 于點(diǎn) C , 連接 OB , 作 ED ∥ OB 交 ☉ O 于點(diǎn) D . B D 的延長線不 CE 的延長線交于點(diǎn) A. (1 ) 求證 : AB 是 ☉ O 切線 。 , 則 ∠ POH= 6 0 176。 (3 ) 請猜想 PF 不 FD 的數(shù)量兲系 , 并加以證明 . 類型 3 雙切線型 問題 圖 Z6 15 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OD ,∵ O A =O D ,∴∠ O A D = ∠ ODA. ∵ OE ∥ AD ,∴∠ OAD= ∠ BOE ,∠ DOE= ∠ ODA ,∴∠ BOE= ∠ DOE. 在 △ BOE 和 △ DOE 中 , ?? ?? = ?? ?? ,∠ ?? ?? ?? = ∠ ?? ?? ?? ,?? ?? = ?? ?? , ∴ △ BOE ≌△ DOE ,∴∠ OBE= ∠ ODE , ∵ BE ⊥ AB ,∴∠ O B E = 9 0 176。 恩施州 ] 如圖 Z6 1 5 , AB 為 ☉ O 直徑 , P 點(diǎn)為半徑 OA 上異于 O 點(diǎn)和 A 點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn) , 過 P 點(diǎn)作不直徑 AB 垂直的弦 CD , 連接 AD , 作 BE ⊥ AB , OE ∥ AD 交 BE 于 E 點(diǎn) , 連接 AE , DE , AE 交 CD 于 F 點(diǎn) . (3 ) 請猜想 PF 不 FD 的數(shù)量兲系 , 并加以證明 . 圖 Z6 15 例 4 [2 0 1 8 ,∵ AD 平分 ∠ BAC , ∴ ∠ B A C= 2 ∠ BAD. 又 ∵ ∠ BOD= 2 ∠ B A D , ∴ ∠ BOD= ∠ B A C= 9 0 176。 .在 Rt △ ABC中 , B C= ?? B2+ ?? C2= 52+ 1 22= 1 3 ( cm ) . ∵ ∠ BOD= ∠ CO D = 9 0 176。 類型 4 與圓有關(guān)的綜合題 解 : ( 2 ) 證明 :∵ t a n ∠ A B C=?? ???? ??= 2, ∴ 設(shè) B C= a , 則 A C= 2 a ,∴ A D =A B = ?? ??2+ ?? ??2= 5 a. ∵ OE ∥ BC , 且 A O =B O ,∴ OE=12B C=12a , A E =CE =12A C=a . 在 △ AED 中 , DE= ?? ??2 ?? ??2= 2 a. 在 △ AOD 中 , AO2+A D2= 52a2+ ( 5 a )2=254a2, OD2= ( O E +D E )2=12a+ 2 a2=254a2, ∴ AO2+A D2=O D2,∴∠ OAD= 9 0 176。 DE ,即?? ???? ??=?? ???? ??, 又 ∵∠ EDF= ∠ BDO ,∴ △ EDF ∽△ BDO , ∵ B C= 1, ∴ A B =A D = 5 , OD=52, ED= 2, BD= 10 , OB= 52, ∴?? ???? ??=?? ???? ??,即?? ?? 52=2 10,解得 EF= 22. 圖 Z6 17 。 廣東 ] 如圖 Z6 1 7 , 四邊形 A B CD 中 , A B =A D =CD , 以 AB 為直徑的 ☉ O 經(jīng)過點(diǎn) C , 連接 AC , OD 交于點(diǎn) E. (3 ) 在 ( 2 ) 的條件下 , 連接 BD 交 ☉ O 于點(diǎn) F , 連接 EF , 若 B C= 1, 求 EF 的長 . 類型 4 與圓有關(guān)的綜合題 解 : ( 3 ) 連接 AF ,∵ AB 是 ☉ O 的直徑 ,∴∠ AFD= ∠ BAD= 9 0 176。 廣東 ] 如圖 Z6 1 7 , 四邊形 A B CD 中 , A B =A D =CD , 以 AB 為直徑的 ☉ O 經(jīng)過點(diǎn) C , 連接 AC , OD 交于點(diǎn) E. (1 ) 證明 : OD ∥ BC 。 , 即 PD ⊥ OD ,又 OD 是 ☉ O 的半徑 , ∴ PD 是 ☉ O 的切線 . 例 4 [2 0 1 8 (2 ) 求證 : △ ABD ∽△ D CP 。 , ∴ DE 是 ☉ O 的切線 . 解 : ( 2 ) 連接 BD. ∵ AB 為 ☉ O 的直徑 , AB ⊥ CD , ∴∠ ADB= 9 0 176。 , 所以 ∠ P O H = ∠ POC , 又因?yàn)?∠ PHO= ∠ P CO , P O =P O , 所以 △