【正文】 ∴ AD=13AB= 2 . 3 . [2 0 1 8 通遼 ] 如圖 Z6 1 6 ,☉ O 是 △ ABC 的外接圓 ,點(diǎn) O 在BC 邊上 ,∠ BAC 的平分線交 ☉ O 于點(diǎn) D ,連接 BD , CD ,過(guò)點(diǎn) D作 BC 的平行線不 AC 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P. 圖 Z6 16 (2 ) 求證 : △ ABD ∽△ D CP 。 , 又 ∵∠ ADF= ∠ BDA ,∴ △ AFD ∽△ BAD ,∴?? ???? ??=?? ???? ??,即 DF 廣東 ] 如圖 Z6 1 7 , 四邊形 A B CD 中 , A B =A D =CD , 以 AB 為直徑的 ☉ O 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C , 連接 AC , OD 交于點(diǎn) E. (2 ) 若 t a n ∠ A B C= 2, 證明 : DA 不 ☉ O 相切 。 類型 4 與圓有關(guān)的綜合題 解 : ( 1 ) 證明 :連接 OD. ∵ BC 是 ☉ O 的直徑 , ∴ ∠ B A C= 9 0 176。 (2 ) 若 ☉ O 的半徑為 3 ,s i n ∠ ADP=13, 求 AD 。 云南 23 題 ] 如圖 Z6 1 2 , 已知 AB 是 ☉ O 的直徑 , PB 是 ☉ O 的切線 , C 是 ☉ O 上的點(diǎn) , AC ∥ OP , M 是直徑AB 上的動(dòng)點(diǎn) , A 不直線 CM 上的點(diǎn)連線距離的最小值為 d , B 不直線 CM 上的點(diǎn)連線距離的最小值為 f. (3 ) 設(shè) A C= 9, AB= 1 5 , 求 d +f 的取值范圍 . 類型 3 雙切線型 問(wèn)題 圖 Z6 12 解 : ( 3 ) 如圖 ② , 過(guò)點(diǎn) A 作 AE ⊥ MC 于點(diǎn) E 并延長(zhǎng)交圓 O 于點(diǎn) K , 則 A E =d , 過(guò)點(diǎn) B 作 BF ⊥ MC 于點(diǎn) F , 則 B F =f , 連接 BK , 則四邊形 E K B F 是矩形 , 所以 E K=B F , 所以 d + f =A E +B F = A E +E K=A K , 因?yàn)?AC ≤ AK ≤ AB , 所以 9≤ d +f ≤ 1 5 . 1 . [2 0 1 8 , 以點(diǎn) A 為圓心 , AC 長(zhǎng)為半徑的圓交 AB 于點(diǎn) D , BA 的延長(zhǎng)線交 ☉ A 于點(diǎn) E , 連接 CE , CD , F 是 ☉ A 上一點(diǎn) , 點(diǎn) F 不點(diǎn) C 位于 BE 兩側(cè) , 且 ∠ F A B = ∠ ABC , 連接 BF. (2 ) 若 B C= 2, BD= 1, 求 CE 的長(zhǎng)及 sin ∠ ABF 的值 . 類型 2 弦切型問(wèn)題 圖 Z6 11 解 : ( 2 ) ∵∠ B CD = ∠ BEC ,∠ E B C= ∠ EBC ,∴ △ BDC ∽△ B CE ,∴?? ???? ??=?? ???? ??=?? ???? ??, ∵ B C= 2, BD= 1, ∴ BE= 4, E C= 2 CD ,∴ D E =B E BD= 3, 在 Rt △ D CE 中 , DE2=CD2+CE2= 9, ∴ CD =35 5 , CE =65 5 . 過(guò)點(diǎn) F 作 FM ⊥ AB 于點(diǎn) M ,∵∠ FAB= ∠ ABC ,∠ FMA= ∠ A CB = 9 0 176。 蘭州 ] 如圖 Z6 9, AB 為 ☉ O 的直徑 , C 為 ☉ O 上一點(diǎn) , D 為 BA 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn) ,∠ A CD = ∠ B. (2 ) 線段 DF 分別交 AC , BC 于點(diǎn) E , F , 且 ∠ CE F = 4 5 176。 ,∴∠ P A C= 6 0 176。 , P C= 2, 求 CM 的長(zhǎng) . 類型 2 弦切型問(wèn)題 1 . [2 0 1 8 咸寧 ] 如圖 Z6 5, 以 △ ABC 的邊 AC 為直徑的 ☉ O 恰為 △ ABC 的外接圓 ,∠ ABC 的平分線交 ☉ O 于點(diǎn)D , 過(guò)點(diǎn) D 作 DE ∥ AC 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E. (2 ) 若 AB =2 5 , BC = 5 , 求 DE 的長(zhǎng) . 圖 Z6 5 類型 2 弦切型問(wèn)題 例 2 [2 0 1 8 (2 ) 若 CD = 4, AF= 2, 求 ☉ O 的半徑 . 類型 1 角平分線型問(wèn)題 圖 Z6 3 解 : ( 2 ) ∵ AB 是 ☉ O 的直徑 ,∴∠ AFB= 9 0 176。 ,∠ BAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) D , 點(diǎn) O 在 AB 上 , 以點(diǎn) O 為圓心 , OA為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn) D , 分別交 AC , AB 于 E , F. (1 ) 試判斷直線 BC 不 ☉ O 的位置兲系 , 并說(shuō)明理由 。 , 從而證得 BC 是圓的切線 。 ∠ O CD = 9 0 176。 . ∵ DE ∥ AC ,∴∠ ODE= ∠ AOD= 9 0 176。 ,∴ OA=12PO=12( P C+CO ) . 設(shè) ☉ O 的半徑為 r ,∵ P C= 2, ∴ r=12(2 +r ), 解得 r= 2, 又 ∵ CD 是直徑 ,∴∠ CM D = 9 0 176。 陜西 ] 如圖 Z6 8, 已知 ☉ O 的半徑為 5, PA 為 ☉ O 的一條切線 , 切點(diǎn)為 A , 連接 PO 并延長(zhǎng)交 ☉ O 于點(diǎn) B , 過(guò)點(diǎn)A 作 AC ⊥ BP 交 ☉ O 于點(diǎn) C , 交 PB 于點(diǎn) D , 連接 BC , 當(dāng) ∠ P= 3 0 176。 ,∠ A CB = 9 0 176。 , 以點(diǎn) A 為圓心 , AC 長(zhǎng)為半徑的圓交 AB 于點(diǎn) D , BA 的延長(zhǎng)線交 ☉ A 于點(diǎn) E , 連接 CE , CD , F 是 ☉ A 上一點(diǎn) , 點(diǎn) F 不點(diǎn) C 位于 BE 兩側(cè) , 且 ∠ F A B = ∠ ABC , 連接 BF. (1 ) 求證 :∠ B CD = ∠ BEC 。 ,∴ OC ⊥ PC , ∵ OC 為半徑 ,∴ PC 是 ☉ O 的切線 . 例 3 [2 0 1 7 , 所以 O C=P C t an 3 0 176。 (2 ) 由 PD 不 BC 平行 , 得到同位角相等 , 再由同弧所對(duì)的圓周角相等及等量代換得到 ∠ P= ∠ ADB , 根據(jù)同角的補(bǔ)角相等得到 ∠ D CP = ∠ ABD , 利用兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似得證 。 (3 ) 在 ( 2 ) 的條件下 , 連接 BD 交 ☉ O 于點(diǎn) F , 連接 EF , 若 BC= 1, 求 EF 的長(zhǎng) . 類型 4 與圓有關(guān)的綜合題 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OC , 在 △ OAD 和 △ O CD 中 ,∵ ?? ?? = ?? ?? ,?? ?? = ?? ?? ,?? ?? = ?? ?? , ∴ △ OAD ≌△ O CD (SSS), ∴∠ ADO= ∠ CD O . ∵ A D =CD ,∴ DE ⊥ AC ,∴∠ AEO= 9 0 176。 D E =A D2.② 由 ①② 可得 DF , ∴ ∠ D CP = ∠ ABD , ∴ △ ABD ∽△ D CP . 例 4 [ 2 0 1 8 ?? ???? ??. 在 △ APD 和 △ OBE 中 ,∠ APD= ∠ OBE ,∠ PAD= ∠ BOE ,∴ △ APD ∽△ OBE. ∴?? ???? ??=?? ???? ??,∴ PD=?? ?? (2 ) 若 P C= 3 , 求四邊形 O CD B 的面積 . 類型 3 雙切線型 問(wèn)題 圖 Z6 14 解 : ( 1 ) 過(guò)點(diǎn) O 作 OH ⊥ PM , 連接 OD , 交 BC 于點(diǎn) E , 由于點(diǎn) D 為 ?? ?? 中點(diǎn) , 且沿 BC 折疊不 O 重合 , 所以 OD 垂直平分 BC , OE=12OD=12OB , 所以 ∠ O B C= 3 0 176。 , 根據(jù)切線的判定定理可證得結(jié)論 。 昆明模擬 ] 如圖 Z6 1 0 , AB 為 ☉ O 的直徑 , C , D 為 ☉ O 上丌同于 A , B 的兩點(diǎn) ,∠ ABD= 2 ∠ B A C , 連接 CD .過(guò)點(diǎn) C 作 CE ⊥ DB , 垂足為 E , 直線 AB 不 CE 相交于 F 點(diǎn) . (2 ) 當(dāng) BF= 5 , s i n F=35時(shí) , 求 BD 的長(zhǎng) . 類型 2 弦切型問(wèn)題 圖 Z6 10 解 : ( 1 ) 證明 :∵∠ A CB = 9 0 176。 蘭州 ] 如圖 Z6 9, AB 為 ☉ O 的直徑 , C 為 ☉ O 上一點(diǎn) , D 為 BA 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn) ,∠ A CD = ∠ B. (1 ) 求證 : DC 為 ☉ O 的切線 。 東營(yíng) ] 如圖 Z6 7, CD 是 ☉ O 的切線 , 點(diǎn) C 在直徑 AB 的延長(zhǎng)線上 . (2 ) 若 BD= 23AD , A C= 3, 求 CD 的長(zhǎng) . (2 ) ∵ BD=23AD ,∴?? ???? ??=23. ∵∠ CA D = ∠ BDC ,∠ D CB = ∠ A CD ,∴ △ CB D ∽△ CD A . ∴?? ???? ??=?? ???? ??=?? ???? ??. ∵ A C= 3, ∴23=?? ??3.∴ CD = 2 . 圖 Z6 7 解 : ( 1 ) 連接 OA. ∵ PA 是 ☉ O 的切線 , 切點(diǎn)為 A ,∴∠ PAO= 90176。 , 可求出半徑 r 的值 , 然后根據(jù)M 點(diǎn)是半圓 CD 的中點(diǎn) , 可得