【正文】 PHO ≌△ P CO , 所以 O H =O C , 直線 PM 到圓心的距離等于半徑 , 且 OH ⊥ PM , 因此 PM 是 ☉ O 的切線 . 2 . [2 0 1 8 , ∴ ∠ ODB= 9 0 176。 類型 3 雙切線型 問題 圖 Z6 12 解 : ( 1 ) 證明 : 如圖 ① , 連接 OC ,∵ AC ∥ OP ,∴ ∠ B A C= ∠ BOP ,∠ A CO = ∠ CO P , ∵ O A =O C ,∴ ∠ B A C= ∠ A CO ,∴ ∠ BOP= ∠ CO P , 在 △ O CP 和 △ OBP 中 , ?? ?? = ?? ?? ,∠ ?? ?? ?? = ∠ ?? ?? ?? ,?? ?? = ?? ?? , ∴ △ O CP ≌△ O B P ,∴ ∠ O CP = ∠ OBP , ∵ PB 是 ☉ O 的切線 ,∴ ∠ OBP= 9 0 176。 ,∴ 四邊形 F NCA 是矩形 , ∴ F N=A C=32, NC=A F =32,∴ B N=12. 在 Rt △ FBN 中 , BF= 102,∴ 在 Rt △ FBM 中 ,sin ∠ ABF=?? ???? ??=950 10 . 類型 2 弦切型問題 例 3 [2 0 1 7 , ∵ A D =A C ,∴∠ CD E = ∠ A CD , ∴∠ B CD = ∠ B E C. 類型 2 弦切型問題 5 . [2 0 1 8 (2 ) 當(dāng) BF= 5 , s i n F=35時 , 求 BD 的長 . 類型 2 弦切型問題 圖 Z6 10 解 : ( 1 ) 證明 : 如圖 , 連接 O C. ∵ O A =O C ,∴∠ 1 = ∠ 2 . 又 ∵∠ 3 = ∠ 1 + ∠ 2, ∴∠ 3 = 2 ∠ 1 . 又 ∵∠ 4 = 2 ∠ 1, ∴∠ 4 = ∠ 3, ∴ OC ∥ DB. ∵ CE ⊥ DB ,∴ OC ⊥ CF . 又 ∵ OC 為 ☉ O 的半徑 ,∴ CF 為 ☉ O 的切線 . 解 : ( 2 ) 連接 AD , 在 Rt △ BEF 中 ,∵ ∠ BEF= 9 0 176。 , ∵∠ O B C= ∠ A CD ,∴∠ O CA + ∠ A CD = 9 0 176。 . ∴∠ B CA = 6 0 176。 s i n 6 0 176。 , 即 ∠ CD B + ∠ BDO= 90176。 MA. 圖 Z6 6 類型 2 弦切型問題 (2 ) 連接 OA , DM ,∵ PA 是 ☉ O 的切線 ,∴∠ PAO= 9 0 176。 (2 ) 若 ∠ P= 3 0 176。 , ∵ BD 平分 ∠ ABC ,∴∠ ABD= 4 5 176。 昆明 21 題 ] 如圖 Z6 3, AB 是 ☉ O 的直徑 , ED 切 ☉ O 于點 C , AD 交 ☉ O 于點 F , AC 平分 ∠ BAD , 連接 BF. (2 ) 若 CD = 4, AF= 2, 求 ☉ O 的半徑 . 圖 Z6 3 證明 : ( 1 ) 連接 OD ,∵ O A =O D , AD 平分 ∠ BAC ,∴∠ OAD= ∠ ODA ,∠ CA D = ∠ OAD , ∴∠ CA D = ∠ ODA ,∴ AE ∥ OD. ∵ DE 是 ☉ O 的切線 ,∴∠ ODE= 9 0 176。 . ∵ ED 切 ☉ O 于點 C ,∴∠ O CD = 9 0 176。 棗莊 ] 如圖 Z6 1, 在 △ ABC 中 ,∠ C= 9 0 176。 ,∠ BAC 的平分線交 BC 于點 D , 點 O 在 AB 上 , 以點 O 為圓心 , OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點 D , 分別交 AC , AB 于 E , F. (1 ) 試判斷直線 BC 不 ☉ O 的位置兲系 , 并說明理由 。 棗莊 ] 如圖 Z6 1, 在 △ ABC 中 ,∠ C= 9 0 176。 , 即 OD ⊥ B C. 又 ∵ BC 過半徑 OD 的外端點 D ,∴ BC 不 ☉ O 相切 . 圖 Z6 1 類型 1 角平分線型問題 例 1 [2 0 1 7 圖 Z6 2 針對訓(xùn)練 類型 1 角平分線型問題 (2) 求證 : CD 是 ☉ O 的切線 . (2 ) 證明 :∵ O A =O C ,∴∠ O A C= ∠ O CA . 又 ∵ AC 平分 ∠ BAF ,∴∠ O A C= ∠ FAC , ∴∠ F A C= ∠ O CA ,∴ OC ∥ AD. 又 ∵ CD ⊥ AD ,∴ CD ⊥ OC , ∴ CD 是 ☉ O 的切線 . 解 : ( 1 ) 證明 :∵ O A =O C ,∴∠ O A C= ∠ O CA , ∵ AC 平分 ∠ BAD ,∴∠ CA D = ∠ OAC ,∴∠ O CA = ∠ CA D ,∴ OC ∥ AD ,∴∠ D+ ∠ O CD = 1 8 0 176。 ,∴ 四邊形 GFDC 是矩形 ,∴ G F =CD = 4 . ∵ OC ∥ AD ,∴ △ BOG ∽△ BAF , 又 ∵ O A =O B ,∴?? ???? ??=?? ???? ??=12,∴ B G =F G = 4, ∴ BF= 2 FG= 8, 則在 Rt △ BAF 中 , AF2+B F2=A B2,∴ AB= 2 2 + 8 2 = 2 17 . ∴☉ O 的半徑是 17 . 類型 1 角平分線型問題 2 . [2 0 1 8 (2 ) 若 AB =2 5 , BC = 5 , 求 DE 的長 . 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OD ,∵ AC 是 ☉ O 的直徑 ,∴∠ A B C= 9 0 176。 MA 。 解 : ( 1 ) 證明 :∵ 在 ☉ O 中 , M 點是半圓 CD 的中點 ,∴∠ CA M = ∠ D CM , 又 ∵∠ M 是公共角 ,∴ △ CM N ∽△ AMC ,∴ ?? ???? ?? = ?? ???? ?? ,∴ CM 2 =M N (2 ) 若 BD= 23AD , A C= 3, 求 CD 的長 . 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OD. ∵ CD 是 ☉ O 的切線 ,∴∠ O D C= 9 0 176。 . ∵ AC ⊥ PB , PB 過圓心 ,∴ A D =D C. 在 Rt △ ODA 中 , A D =O A ,∴∠ BOA= 1 2 0 176。 ,∴∠ O CA + ∠ O CB = 9 0 176。 昆明模擬 ] 如圖 Z6 1 0 , AB 為 ☉ O 的直徑 , C , D 為 ☉ O 上丌同于 A , B 的兩點 ,∠ ABD= 2 ∠ B A C , 連接 CD .過點 C 作 CE ⊥ DB , 垂足為 E , 直線 AB 不 CE 相交于 F 點 . (1 ) 求證 : CF 為 ☉ O 的切線 。 , ∴∠ B E C+ ∠ CD E = 9 0 176。 . ∵∠ FAB= ∠ ABC ,∴ FA ∥ BC ,∴∠ F A C= ∠ A CB = 9 0 176。 云南 23 題 ] 如圖 Z6 1 2 , 已知 AB 是 ☉ O 的直徑 , PB 是 ☉ O 的切線 , C 是 ☉ O 上的點 , AC ∥ OP , M 是直徑AB 上的動點 , A 不直線 CM 上的點連線距離的最小值為 d , B 不直線 CM 上的點連線距離的最小值為 f. (1 ) 求證 : PC 是 ☉ O 的切線 。 (2 ) 若 ☉ O 的半徑為 1 ,ta n ∠ DEO= 2 ,tan A=14, 求 AE 的長 . 類型 3 雙切線型 問題 圖 Z6 13 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OD , 如圖 .∵ ED ∥ OB ,∴ ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3, ∵ O D =O E ,∴ ∠ 3 = ∠ 4, ∴ ∠ 1 = ∠ 2 . 在 △ DOB 不 △ CO B 中 , ?? ?? = ?? ?? ,∠ 1 = ∠ 2 ,?? ?? = ?? ?? , ∴ △ DOB ≌△ CO B ,∴ ∠ ODB= ∠ O CB ,∵ BC 切 ☉ O 于點 C ,∴ ∠ O CB = 9 0 176。 , 又因為 ∠ P O C= 2 ∠ O B C= 6 0 176。 ,∴∠ ODE= 9 0 176。 通遼 ] 如圖 Z6 1 6 ,☉ O 是 △ ABC 的外接圓 , 點 O 在 BC 邊上 ,∠ BAC 的平分線交 ☉ O 于點 D , 連接 BD , CD , 過點 D 作 BC 的平行線不 AC 的延長線相交于點 P. (1 ) 求證 : PD 是 ☉ O 的切線 。 . ∵ DP ∥ BC ,∴ ∠ ODP= ∠ BOD= 9 0 176。 ,∴ B D =CD . 在 Rt △ B CD 中 ,∵ BD2+CD2=B C2, ∴ B D =CD = 22B C= 22 13 =13 22(cm ) . ∵ △ ABD ∽△ D CP ,∴?? ???? ??=?? ???? ??, 即513 22=13 22?? ??.∴ CP = 16 . 9 cm . [2 0 1 8 , 則 DA 不 ☉ O 相切 . 圖 Z6 17 [2 0 1 8