計算方法第五章ppt課件-文庫吧資料
2025-05-09 07:08本頁面
【正文】 !nnR f fn ????? ? ? ?? Gauss－ Hermite（ 高 斯－埃爾密特）公式 高 斯－切比雪夫公式 20( ) ( )nxiiie f x d x A f x? ??? ?? ??( 2 2 )1( 1 ) ![ ] ( ) ,2 ( 2 2 ) !nnnR f fn? ?????? ? ? ? ? ??121 0( ) 2 1( c o s )1 2 21nif x id x fnnx? ?? ?????? ??( 2 2 )21[ ] ( ) , 1 12 ( 2 2 ) !nnR f fn? ????? ? ? ??第四節(jié) 數(shù)值微分 基本數(shù)值微分公式： 方法：利用插值多項式代替被求導(dǎo)的函數(shù)進行求導(dǎo)運算，將求出的導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值。 可以證明，上面公式的代數(shù)精度不超過 2n+1， 稱具有 2n+1階代數(shù)精度的如上所示的求積公式為 高斯型公式 。 步驟如下： 02112( ) ( )2 ( / 2 ) ( )()21kkkk kT h T hT h T hTh ?????? ?????()kTh 2 ( 1 )()kOh ?00, ( / 2 )i i ikT T T h?求 把區(qū)間二等分，計算 把區(qū)間再對分（設(shè) 等分）計算 ，依次計算 最后求出 如 ，則可以將 作為積分的值，否則繼續(xù)按照第三步計算。 下面，給出龍貝格積分法在計算機上實現(xiàn)的具體計算步驟。 對于梯形法，步長二分前后梯形公式值有如下遞推關(guān)系式： 首先，設(shè)步長為 ， ， 等分后得： h? ? ? ?/2I h I h?2 1 3 2 11 ( ( ) ( ) ( ) )22n n nhT T f x f x f x?? ? ? ? ?bahn??ix a ih??? ? ? ? ? ?1111()22nnkkI f T h f a f x f b????? ? ? ????? ?類似的可以得到變步長的 辛浦生 公式： 2 2 21[]3n n n nS T T T? ? ?例：計算積分，直到相鄰兩次計算絕對值小于 精確值 數(shù)值結(jié)果 用辛浦生公式 可以看出，對于同一步長， 辛浦生公式計算比梯形公式好 ! 12041I dxx? ??1 10204 4|1I d x a rc tg xx ?? ? ???( 1 ) 3 , ( 1 / 2 ) 3 . 1 , ( 1 / 4 ) 3 . 1 3 1 1 7 6 4 7T T T? ? ?( 1 / 8 ) 3 . 1 3 8 9 8 8 4 9 3 ( 1 / 4 ) ( 1 / 8 ) 0 . 0 1T T T s t o p? ? ?1( 1 / 8 ) ( 1 / 8 ) [ ( 1 / 8 ) ( 1 / 4 ) ] 3 . 1 4 1 5 9 2 53S T T T? ? ? ? 代數(shù)精度與待定系數(shù)法： 一般地 ， 取 內(nèi)若干個 (n個 )節(jié)點 處的函數(shù)值 ， 求積公式可以表示為： 定義：稱求積公式具有 m階（代數(shù)）精度 ，如果它對于一切不超過 m次多項式是準(zhǔn)確的，但對于 m+1次多項式不準(zhǔn)確。39。39。 復(fù)化梯形公式 ，區(qū)間 n 等分，分點為 ，步長 ： ? ? ? ? ? ?112( ) ( ) 22[ ] ( ) ( ) , [ , ]12nkkhI f T h f a f x f bhR f b a f a b??????? ? ? ???????? ? ? ??kx ( ) /h b a n?? 區(qū)間 2n等分 ， ，則得到 復(fù)化辛浦生公式 ( ) / 2h b a n??? ? ? ? ? ? ? ?12 1 2114( 4 )( ) ( ) 4 23[ ] ( ) ( ) , [ , ]180nnkkkk
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