計算方法第一講ppt課件-文庫吧資料
2025-05-09 07:08本頁面
【正文】 開方會減少相對誤差 ， 提高精度 。 注意，若 x= ， ,2 0 0 ~,~21 ?? xx則 1~x作為 x 的 近似只有 1位有效數(shù)字，而 2~x作為 x 的 近似具有 4位有效數(shù)字。 ~ ?x則 x~ 準(zhǔn)確到小數(shù)后 4位，具有 5位有效數(shù)字。 在實際計算中 ， 相對誤差限很小時 ， 也取： x( ) ( ) / ( ) /x x x x x x? ? ? ? ?x( ) ( ) / ( ) / rx x x x x x??? ? ? ? ?x( ) ( ) / ( ) /x x x x x x? ? ? ? ? 如果 的誤差限為 10n， 即 則稱其準(zhǔn)確到小數(shù)后第 n位，并稱 的第一個非零數(shù)字到第 n位的全部數(shù)字為 的有效數(shù)字。 x( ) ( )x E x x x? ? ? ?( ) ,x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?設(shè) x為真正值 ， 為近似值 ， 稱： 為 的相對誤差 。 計算機(jī)計算時只能對有限位數(shù)進(jìn)行計算 ， 超過的進(jìn)行舍入 ， 由此引起的誤差稱為 舍入誤差 （ 計算誤差 ） 。 求解數(shù)學(xué)問題時需要若干參量和初始值 ， 這些數(shù)據(jù)往往通過對實際問題的觀測得到 ， 由于觀測引起的誤差稱為 觀測誤差 （ 數(shù)據(jù)誤差 、 模型參量誤差 ） 。 2 誤差及有關(guān)概念 真實值與我們所獲得的值之間的差異就是 誤差 。 有時要求逼近函數(shù)與被逼近函數(shù)之間在某些點函數(shù)值及若干階導(dǎo)數(shù)值相等 ， 這種逼近稱為插值 ；有時要求在逼近區(qū)間上的最大誤差取極小 ，這稱為 最佳一致逼近 ；或在某些點的誤差值平方和取極小 ， 這稱為 最佳平方逼近 。 有些算法具有遞推性 ， 稱之為 迭代法或逐次逼近法 。 例：如在尾數(shù)為 4位的計算機(jī)上計算 精確值為 ， 計算時如先加前兩項 ， 再加后一項 ， 結(jié)果為 ， 如先加后兩項 ， 再加前一項 ， 結(jié)果為 ， 顯然 ， 后一種算法更好 。 但對于非病態(tài)的良態(tài)問題 ， 如算法不當(dāng) ， 由于計算機(jī)的近似性 ， 有時也可能得到不可靠的結(jié)果 。 1. 直接方法（適用于可有限步內(nèi)直接計算得到解的問題） 2. 截斷近似：利用一些展開式截取其若干項來近似 3. 迭代法 4. 線性化：非線性問題局部線性化 5. 化整為零：將整體問題分割為若干小部分處理 6. 外推法：利用已算出的結(jié)果適當(dāng)組合得到更精確 的結(jié)果 3 5 7 2 1s i n3 ! 5 ! 7 ! ( 2 1 ) !nnx x x xx x Rn?? ? ? ? ? ? ??例 5：計算 sinx， x?[0， ?/4] 2 30x ??例 6：求解函數(shù)方程 f (x)=0. 例 7：求解函數(shù)方程 例 9：求解常微分方程 0( , ) , [ , ]()y f x y x a by a y? ???1 ( , )n n n ny y hf x y? ??例 8：計算定積分 ()baf x d x?一個具體的例子： 迭代格式為： 2, [ 0 , 1 ]( 0 ) 1xy y xyy? ? ? ??1 ( 2 / )n n n n ny y h y x y? ? ? ?精確解： ( ) 1 2y x x??xn 1 yn 8 4 1 1 8 yn 9 1 2 4 4 9 Y(xn) 4 2 9 6 2 0 例：求方程
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