計算方法第八章ppt課件-文庫吧資料
2025-01-21 10:50本頁面
【正文】 x y hy f x y h f x y h? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?( 0 )1 ( , )n n n ny y hf x y? ??( 1 ) ( )1 1 1( , ) / 2 ( , ) / 2kkn n n n n ny y f x y h f x y h?? ? ?? ? ? ? ?/ 2 1Lh ?（ 2）牛頓迭代 必須指出，在真正計算中，常用的是簡單迭代，而且只迭代一步，迭代初值 稱為預測，迭代稱為校正，這樣組成的一組計算公式稱為 預測－－校正公式 。 例如：后退歐拉法、歐拉梯形公式 顯然，利用隱式法求微分方程的數(shù)值解是， 需要從表達式中反解未知節(jié)點上的函數(shù)值 。 直接利用已經(jīng)求得的已知節(jié)點上的值計算未知節(jié)點上的函數(shù)值的算法稱為 顯式法 。 1 ( , )n n n ny y f x y h? ??1 1 1( , )n n n ny y f x y h? ? ???1 1 1[ ( , ) ( , ) ] / 2n n n n n ny y f x y f x y h? ? ?? ? ? ?（ 2）如選擇上矩形公式，則 這是所謂的 后退歐拉公式 。 此時，計算公式為 11( , )2n n nf x y yy y hy??????1 0 0( 1 ) , 1y h y y? ? ? 計 算 結 果 歐拉方法的其他改進 微分方程數(shù)值解的關鍵在于對導數(shù)的處理，可以用差分來近似 導數(shù)，也可以通過積分，將導數(shù)項化掉。 11()2( ) ( )2nnnnnyyyxhy x h y x hh???? ?? ? ??3222 ( ) ( ) / 3 ! ()( ) ( ) ( )2 1 2nnny x h y h yy x h y x O hh? ?? ??? ???? ??? ? ? ? ?1 1 0 02 ( , ) , ( )n n n ny y h f x y y x y??? ? ?歐拉中點公式 利用中點公式求解微分方程時，有一個問題，就是計算時需要兩個迭代初值！ 對于這個問題，我們可以先用歐拉公式，通過給定的初值計算出第一個點的值，然后在利用這兩個（第一和第二個點）的值進行計算，直到計算出全部節(jié)點上的值。39。 步長為 。第八章 常微分方程初值 問題數(shù)值解法 本章主要研究常微分方程初值問題的數(shù)值求解： 通常，假設函數(shù) f 關于第二個變量滿足李普希茨條件（ L條 件），即為存在常數(shù) L 0， 使得 0( ) ( , ( ) )()y x f x y x a x by a y? ? ? ??? ??1 2 1 2( , ) ( , )f x y f x y L y y? ? ?第一節(jié) 一般概念 歐拉法及其簡單改進 0( ) ( , ( ) )()y x f x y x a x by a y? ? ? ??? ??方法：選擇適當?shù)墓?jié)點，用差分近似微分，將方程離散化， 從而求在這些節(jié)點上的函數(shù)值。 0 1 2 111NNn n n n na x x x x x bh x x x x???? ? ? ? ? ? ??? 稱為 到 的步長（通常取為常數(shù)h ）1( ) ( ) ( , ( ) ) ( , )nnn n n ny x y x f x y x f x yh? ? ??歐拉 方法 1 0 0( , ) , ( )n n n ny y h f x y y x y?? ? ? ?例子： ( 0 1 )( 0 ) 1y y xy? ? ? ? ??? ??10( , )( 1 )1n n n nf x y yy y h y h yy???? ? ? ??xye ??精確解為下面我們分別取步長為 ， 計算結果顯示在下面的圖中。 步長為 1 DOUBLE PRECISION h,y(0： 100) OPEN(20,FILE=39。,STATUS=UNKNOWN) h= y(0)= do 10 i=1,100 y(i)=y(i1)*() write(20,*) i*h,y(i) 10 continue END 精度更高的歐拉公式： 方法：選擇計算導數(shù)值 的精度更好的差分格式。 下面，我們用中點公式求解剛才的例子，計算的步長取 ，可以看到，計算的精度比較高。 對于方程： 首先，作出劃分 設已經(jīng)求出第 n 個 節(jié)點的函數(shù)值 ，在區(qū)間 上對方程兩邊積分 容易看出，要求第 n+1 個 節(jié)點的函數(shù)值，關鍵在于 選擇適當?shù)姆e分公式計算積分 ！ ( ) ( , ( ) )y x f x y x? ?0 1 2 1NNa x x x x x b?? ? ? ? ? ? ?1[ , ]nnxx ?ny11( ) ( ) ( , ( ) )nnxnn xy x y x f x y x d x?? ?? ?（ 1）如選擇下矩形公式，則 這正是前面的 歐拉公式 。 （ 3）如選擇梯形公式，則 這
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