【正文】 3 終點 均為 ∞ 自動控制理論 方框圖 （ 5）根軌跡的漸近線 101 2 0,01 8 02 、?????? kmn ka ????3403)3()1(011 ?????????? ????mnzpmiiniia ＝?（ 6）根軌跡的分離點 特征方程 034 023 ???? Ksss0383 20 ???? sssd Kd舍去）( 21 ???? ss自動控制理論 方框圖 4 3 2 1 0 1 254321012345R e a l A x i sImag Axis自動控制理論 方框圖 167。 ???????幅值條件 ???????????niimii kpszs112)()( ?幅角條件（ k =0, 1, 2, … ） 繪制正反饋系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則 （ 1）、根軌跡的分支數(shù) (相同 ) （ 2）、根軌跡的起點和終點 (相同 ) （ 3）、根軌跡的對稱性 (相同 ) （ 4）、實鈾上的根軌跡：實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè) (實軸上 )開 環(huán)實零、極點數(shù)目之和相應(yīng)為偶數(shù) (0也視為偶數(shù) )。 112121 ?????????????? KjsjssKsssssKsssKsHsG開環(huán)極點 21210 221 jpjpp ???????實軸上的根軌跡 ? ?0,??漸近線 ??????????????????????????????????32030)21()21(0)1,0(1 8 0,601 8 0)12(110jjmnzpqmnqmiiniiaa＝?? ??自動控制理論 方框圖 根軌跡與虛軸的交點 : 特征方程 032 23 ???? ?sss???0123026231ssss?006 ??? ?? 0622 22 ???? ss ?交點為 js ????出射角 : 勞斯表 ?????????????njiiijmiijjp ppzpk11)()()12( ＋＝ ???? 3090)(180 0 ?????? a rc tg對于 1+ 對于 ?? 30)2 7 0() 8 0(1 8 03 0 ????? ? a r c tg自動控制理論 方框圖 2 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 22 1 . 51 0 . 500 . 511 . 52R e a l A x i sImag Axis自動控制理論 方框圖 二、多回路根軌跡 根軌跡不僅適合于單回路 ,也適用于多回路。 解： （ 1）以 α為參量的等效開環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)特征方程 0)22( )(1 21 ??? ?? sss sK ?0)()22( 12 ????? ?sKsss自動控制理論 方框圖 0)22( 112 ????? KsKsss ?0)22(1121 ????? sKsssK?等效開環(huán)傳遞函數(shù) 1)21)(21()22( 1)22()(39。 4— 3 廣義根軌跡 一、參數(shù)根軌跡 二、多回路根軌跡 三、正反饋和零度根軌跡 自動控制理論 方框圖 一、參數(shù)根軌跡 以系統(tǒng)中任意一個參數(shù)（開環(huán)零點、開環(huán)極點、時間常數(shù)、反饋比例系數(shù)等） 繪制的根軌跡。 解： （ 1）根據(jù)根軌跡畫法基本規(guī)則畫出根軌跡圖； （ 2） 在根軌跡圖上畫出阻尼比線； （ 3） 求出根軌跡與阻尼比線的交點得到閉環(huán)主導極點的位置； （ 4） 根據(jù)幅值條件 ， 求出對應(yīng)的開環(huán)增益； （ 5） 利用 閉環(huán)特征方程的根之和和根之積確定其它閉環(huán)極點。 j ?各閉環(huán)極點之和為－ 5 ?當實軸上根軌跡分支向左趨 向于無限零點時，兩個從復(fù)數(shù)極 點出發(fā)的根軌跡分支趨向于右邊 無限零點。39。K??????????????? ??0K2s)39。239。6)39。3439。234 ?????? KsKsss01234sssss39。 自動控制理論 方框圖 114 )2()1130( ??? ???????? jja??漸近線與實軸交點坐標為 ?系統(tǒng)特征方程 02)6(85 39。 、－ 60176。 ?實軸上區(qū)段 0～－ 2和－ 3～－ ∞ 為根軌跡。 ?根軌跡對稱于實軸，有四條根軌跡分支分別起始于開環(huán)極點 0，－ 3，－ 1177。1 )()()( ?zi 開環(huán)零點 si閉環(huán)極點 pi開環(huán)極點 11 asni i????nnni ias )1(1????閉環(huán)特征方程的根（即閉環(huán)極點）與特征方程 的系數(shù)關(guān)系： ????? niinii ps111） (nm)?2時，根之和與根軌跡增益 K’ 無關(guān)，是個常數(shù)， 且有 2）根之和不變 ?K’ 增大，一些根軌跡分支向左移動，則 一定會相應(yīng)有另外一些根軌跡分支向右移動。 ＝??K02 3＝?? ?2???639。39。 )2)(1()()(39。631kk?039。 ???????? KsssKsss0123ssss39。??? sssKsHsG閉環(huán)特征方程 023)2)(1( 39。 例 自動控制理論 方框圖 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 求根軌跡與虛軸的交點 。 2z??自動控制理論 方框圖 八、根軌跡與虛軸的交點 根軌跡與虛軸相交 ?閉環(huán)特征方程有純虛根、系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界。 j、 － ∞ 實軸上 0～－ － ～－ ∞兩區(qū)段是根軌跡 ??????????????????????????????????????)1k2()pp()pp()pp()zp()zp()zp()1k2(4232123222122p ＋＝??? 792p＝取 k＝ 0 ??? 793p＝－ ????? 281793603p ＝－＝p3和 p2為共軛復(fù)數(shù)， 根軌跡起始角對稱。 ) 例 自動控制理論 方框圖 根軌跡上，靠近起點 p1處取一點 s1 相角方程 ?)12()()()()( 31211111 ?????????????? kpspspszss1?p1 )(11 ps ???起始角 ?p )pp()pp()zp()1k2( 3121111p ????????????? ＋＝自動控制理論 方框圖 ))()(( )2)(2)(()()(39。 ) ??????????????? nji 1iijm1i ijjp)pp()zp()1k2( ＋＝k＝ 0， 1， … 證明 終止角 ?z:進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處根軌跡的切線與實軸之間的夾角。 ?????? sssdsdK根據(jù)規(guī)則 6?求根軌跡的分離點 21 ??b? ,2 jb ???? p p4的連接線上 自動控制理論 方框圖 七、根軌跡的起始角和終止角 起始角 ?p :從開環(huán)復(fù)數(shù)極點出發(fā)的一支根軌跡，在該極點處根軌跡的切線與實軸之間的夾角。 ??????? ssss KsHsG)80368()204)(4( 234239。 輻角條件 ? p p4的連接線為根軌跡 ??????? )ps()ps( 21???? )ps( 4????? )ps( 3?? ?? ????????? n 1i im 1i i )1k2()ps()zs(自動控制理論 方框圖 )204)(4()()( 239。 j4，終止于無限遠零點。 自動控制理論 方框圖 )204)(4()()( 239。 ?根軌跡分離點處所對應(yīng)的 k’ 增益具有極值 0)()(1139。 根軌跡對稱于實軸。1 11 )()(或 ??????????????? ????????? ?miimiinjjnjjzszsdsdpspsdsd1111111111)()()()(?????? ???????? ? ?? ?? mi inj j zsdsdpsdsd 1 111 11 )(ln)(ln兩式相除 ?? ?? ??? mi inj j zsdsdpsdsd 1 111 11 )l n ()l n (或 ?? ?? ??? nj jmi i pszs 1 11 1 11即得 解出 s1，即為分離點 ?b 自動控制理論 方框圖 已知某一系統(tǒng)的開環(huán)零極點分布，試概略畫出其根軌跡。1 1111??????? ???? ????mi inj jzsKpsdsdsDdsd?? ?? ???? mi inj j zsKps 1 139。10)()()(根軌跡在 S平面上相遇并有重根，設(shè)重根為 s1，根據(jù)代數(shù)中的重根條件，有 ?? ?? ????? mi inj j zsKpssD 1 139。 自動控制理論 方框圖 )2s)(1s(sK)s(G??? ?? 2 ??[1， 2]區(qū)間無根軌跡 ?舍去 由 極值點求解 ?????? 902180l180b ????自動控制理論 方框圖 ?b坐標值由分式方程解出 ??????? njjmiipszsKsHsG1139。Kds )s(dA[|ds )s(dD bb ss ??? ????)s(B )s(A39。K,s(D)s(D 1rb ???????0ds )s(dB)s(Ads )s(dA)s(B ??0]ds )s(dD)s()s(rD[)s(ds )s(B39。K,s(D ?????由 解出 ?b 0ds )s(dB)s(Ads )s(dA)s(B ??自動控制理論 方框圖 分離點（或會合點） 處的根軌跡的會合角（或分離角） l)1k2(b????? 會合（或分離）的根軌跡的條數(shù) 分離點上的根軌跡的切線方向與實軸正方向的夾角 例 自動控制理論 方框圖 0)s(D)s()s(B39。K)s(B39。K0)39。 ?? KK2/121 ??? ss證明 例 必要條件：當解得多個 s值時，其中 k’ 值為正實數(shù)時才有效。 039。 )2s2s)(4s(s)1s(K)s(G2 ?????四個開環(huán)極