【正文】 ? ? ? ? ?臨34 , ? ? ? ?利用綜合除法，可求出其他兩個閉環(huán)極點 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 173 圖 4－ 19 例 4－ 8根軌跡圖 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 174 圖 418 常見閉環(huán)系統(tǒng) 根軌跡圖 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 175 ? 以根軌跡增益 K*變化繪制的根軌跡稱為 常規(guī)根軌跡 。 3 1 3 2 3 4 3400 0 0 0 0018018 0 11 6. 5 12 .5 90 3939p p p p p p pp? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ???解得 ⑥ 分離點坐標(biāo) d。 1 , 4 51 , 1 3 5 。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 167 例 4－ 8 2() ( 0 . 0 5 1 ) ( 0 . 0 5 0 . 2 1 )KGss s s s?? ? ??已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 0K ? ? ?KK? 臨試畫出 時的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出 時的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。若 根之和與開環(huán)根軌跡增益 無關(guān)。 *2( ) ( )( 3 ) ( 2 2 )KG s H ss s s s?? ? ?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 160 解 ： 按步驟畫圖 ① 有 4條根軌跡 ② 各條根軌跡分別起于開環(huán)極點 0， 3， 1+j1, 1j1 ；終于無窮遠(yuǎn) ③ 實軸上的根軌跡在 0到 3之間 ④ 漸 近 線 00( 2 1 )45 , 13 540 3 1 1 1 14aakjj????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 161 ⑤ 確定分離點 d 4110idp???1 2 , 32 .3 , 0 .9 2 0 .3 7d d j? ? ? ? ?解方程得 （舍去） 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 162 3 1 3 2 3 4 3400 0 0 000180180 135 90p p p p p p pp? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ????⑥ 確定起始角 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 163 ⑦ 確定根軌跡與虛軸的交點。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 154 解： 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點 12 1 , 1p j p j? ? ? ? ? ?按步驟： ① n=2,m=1,有兩條根軌跡 ② 兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點和無窮遠(yuǎn)零點 ③ 實軸上根軌跡位于有限零點－ 1和無窮零點之間，因此判斷有分離點 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 155 ④ 離開復(fù)平面極點的 初始角 為 11 1 2 12180180 116 .57 90 206 .57206 .57p z p p pp? ? ??? ? ?? ? ? ???425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 156 1. 5 1 1. 5 1 1221( 2 1 )21aajjk????? ? ? ? ?? ? ??????⑤ 漸近線 121 1 1 1 1 1 2 , 2d j d j ddd??? ? ? ? ?? ? ?（舍去） 求分離點坐標(biāo) d 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 157 此系統(tǒng)根軌跡如圖 415所示 圖 4－ 15 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 158 八、根軌跡與虛軸的交點 ?如根軌跡與虛軸相交，則交點上的 值和 值可用勞思判據(jù)判定，也可令閉環(huán)特征方程中的 ，然后分別令其實部和虛部為零求得。 ???????????? ))pp(()zp()zp( 212111???? 180)90( ????? ?? 207153 ????④ 確定終止角 。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 148 起始角與終止角計算公式 ? 起始角計算公式： 終止角計算公式： )()()12(11jmkjjkniikz zzpzkk ???????? ???????11( 2 1 ) ( ) ( )kmnp k j k ijiikk p z p p?????? ? ? ? ? ? ? ???425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 149 例 4－ 5 * ( 2 ) ( 2 )( ) ( )( 1 2 ) ( 1 2 )K s j s jG s H ss j s j? ? ? ??? ? ? ??設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L制系統(tǒng)概略根軌跡。 1 2 3 40 , 4 , 1 1 , 1 1 ,4p p p j p jn? ? ? ? ? ? ? ? ??極點 解： 零點 1 , 1zm? ? ?*2( 1 )( ) ( )( 4 ) ( 2 2 )KsG s H ss s s s??? ? ?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 143 按照公式得 12300011( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )4 1 360 ( 0)18 0 ( 1 )30 0 ( 2)53nmiiiikkknmkkkpznm????????????????????????????? ? ????425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 144 以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線 *1()Ks s p?*12( ) ( )Ks s p s p??425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 145 *1 2 3( ) ( ) ( )Ks s p s p s p???*21 2 3( ) ( ) ( )Ks s p s p s p???425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 146 對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù) *1( ) ( )()KG s H ss s p??(a) *12( ) ( )( ) ( )KG s H ss s p s p???(b) *1 2 3( ) ( )( ) ( ) ( )KG s H ss s p s p s p????(c) *21 2 3( ) ( )( ) ( ) ( )KG s H ss s p s p s p????(d) 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 147 法則七、根軌跡的起始角和終止角 根軌跡的終止角 是指終止于某開環(huán)零點的根軌跡在該點處的切線與水平正方向的夾角。 ip425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 138 ? 舉例： 判斷如下系統(tǒng)的根軌跡的分離點和會合點 + _ ()Cs( 1 ) ( 2 )Ks s s??()Rs1 ( ) ( ) 0G s H s?? ( 1 ) ( 2 ) 0s s s K? ? ? ?( 1 ) ( 2 )K s s s? ? ? ?0dKds ?120 .4 2 31 .5 7 7ss???????? 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 139 法則六、根軌跡的漸近線 ? 漸近線與實軸正方向的夾角為： mnka ??? ?? )12(漸近線與實軸相交點的坐標(biāo)為： mnzpnimjjia???? ?? ?1 1?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 140 （ 1）根軌跡漸近線的傾角 根據(jù)幅角條件： 當(dāng) 時，零點 、極點 與 矢量復(fù)角可近似看成相等 得到 所以漸近線的傾角： 因共有 (nm)條漸近線，所以只要取 (nm)個不同的傾角即可 。 ③ 法則四，在負(fù)實軸上， 0到－ 1區(qū)間和－ 2到負(fù)無窮區(qū)間是根軌跡。425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 132 最后繪制出根軌跡如圖 4－ 7所示。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 131 例 4－ 3 2 ( 1 )()( 2 )KsGsss???0K