【正文】 立系統(tǒng)各元部件 （ 或典型環(huán)節(jié) ） 的微分方程 。 注意 ， 比較點(diǎn)處信號(hào)的運(yùn)算符號(hào)必須標(biāo)明 正 (+)、 負(fù) ()，一般不標(biāo)者取正號(hào) 。 ③ 引出點(diǎn) (測(cè)量點(diǎn) )：表示信號(hào)引出或測(cè)量位置 ， 從同一點(diǎn)引出的信號(hào)完全相同 。 1. 定義 2. 組成 ① 信號(hào)線：帶有箭頭的直線 ，箭頭表示信號(hào)傳遞方向 ， 信號(hào)線上標(biāo)信號(hào)的原函數(shù)或象函數(shù) 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 四、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn) 1011010 1 20 1 21*1()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()()mmmnnnmnmjjniib s b s bCsGsR s a s a s ab s z s z s za s p s p s pszKsp????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??????pi: 極點(diǎn)，用“ ?”表示 零極點(diǎn)分布圖 zj: 零點(diǎn)，用“ ”表示 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 若傳遞函數(shù) 42()( 1 ) ( 2 )sGsss????該傳遞函數(shù)的 極點(diǎn)為 p1 =?1， p2=?2。 用信號(hào)線把這些方框連接起來(lái) ， 得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 求取 傳遞函數(shù) 的方法與步驟： 1. 首先確定出系統(tǒng)的輸出信號(hào) (被控量等 )和輸入信號(hào)（如給定值、干擾等）。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 三、求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法 求取物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，一般假設(shè) : 1. 系統(tǒng)不帶負(fù)載，即在系統(tǒng)的輸出端不吸收能量。 101() nn nD s a s a s a?? ? ? ? ? ? ?自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 5. 傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性。 4. 同一系統(tǒng)不同觀測(cè)點(diǎn)的輸出信號(hào)對(duì)不同作用點(diǎn)的輸入信號(hào)之間的傳遞函數(shù)的形式具有相同的分母 ， 所不同的只是分子 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3. 傳通函數(shù)只描述系統(tǒng)輸入 輸出之間的關(guān)系 ， 但不反映系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的任何信息 。分母多項(xiàng)式的最高階次為 n， 稱該系統(tǒng)為 n階系統(tǒng)。只適用于線性定常系統(tǒng) 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程一般式為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?101 1101 1ddddddddnnnnnmmmmma c t a c t a c tttb r t b r t b r ttt????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?式中 c(t)為系統(tǒng)的輸出量， r(t)為系統(tǒng)的輸入量， a0, a1,? ,an 及 b0 , b1, ? , bm 均為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的常數(shù)。 0( ) 2 ( ) ( ) 0 , ( 0 ) 0 , ( 0 )x t x t x t x x x? ? ? ? ?解 ： 對(duì)微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換 2 ( ) ( 0 ) ( 0 ) 2 ( ) 2 ( 0 ) ( ) 0s X s sx x sX s x X s? ? ? ? ? ?代入初始條件，求出象函數(shù) X(s)的表達(dá)式 022()21sX s xss????自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 將 X(s)展成部分分式，利用拉氏變換對(duì)照表，求出 x(t)。 ③ 用部分分式法進(jìn)行反變換 ， 求得微分方程的解 。 22()43sFsss????解 ： 222()4 3 ( 1 ) ( 3 )1 / 2 1 / 213ssFss s s sss????? ? ? ?????進(jìn)行反變換得 311( ) e e22ttft ????自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 五、用拉氏變換求解微分方程 用拉普拉斯方法求在給定初始條件下微分方程的步驟如下： ①對(duì)微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，將微分方程變?yōu)橐韵蠛瘮?shù)為變量的代數(shù)方程，方程中初始條件是 t=0時(shí)的值。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 F(s)通常是 s的有理分式函數(shù) ， 即分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次 ， F(s)的一般式為 10 1 1111()mmmmnnnnb s b s b s bFss a s a s a????? ? ? ??? ? ? ?式中 a a ? 、 an及 b b ? 、 bm為實(shí)數(shù)， m、 n為正數(shù)，且 mn。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 四、拉氏反變換 拉氏反變換的定義如下 ? ? j1j1( ) ( ) ( ) e d2 π jstF s f t F s t????????? ?L一般由 F(s)求 f(t)， 常用部分分式法 。 ( ) 1 ( 1 )[ ( ) ] ( ) ( 0 ) ( 0 )n n n nf t s F s s f f??? ? ? ? ? ? ?L自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 設(shè) F(s)=L [f(t)] ， f(0)=0 ， 則有 1( ) d ( )f t t F ss?? ????L自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 4. 終值定理 若 F(s)=L [f(t)]， 且當(dāng) t??時(shí) ， f(t)存在一個(gè)確定的值 ， 則其終值 0li m ( ) li m ( )tsf t sF s? ? ??該式為求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（即 t?? ） 提供了方便。 則 f(t)的拉氏變換 在平面上 Re(s)c一定存在 ， 此時(shí)右端的積分絕對(duì)而且一定收斂 ， 并且在這半平面內(nèi)F(s)為解析函數(shù) 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 微 分 方 程初 始 條 件方 程 的 解代 數(shù) 方 程方 程 的 解拉 氏 變 換拉 氏 反 變 換t 域 s 域用拉氏變換解微分方程示意圖 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 一 、 拉氏變換的定義和存在定理 1. 定義 設(shè)函數(shù) f(t)在 t≥ 0時(shí)有定義，如果線性積分 0() edstf t t?? ?? ()js ???? 為 復(fù) 變 量存在，則由此積分所確定的函數(shù)可寫為 0( ) ( ) ed stF s f t t??? ?自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ( ) [ ( ) ]F s f t? LF(s)稱為 f(t)的象函數(shù)，而 f(t)稱為 F(s)的原函數(shù)，由象函數(shù)求原函數(shù)的運(yùn)算稱為拉氏反變換，記作 1( ) [ ( ) ]f t F s?? L稱其為函數(shù) f(t)的拉普拉斯變換，并記作 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 2. 拉普拉斯變換的存在定理 若函數(shù) f(t)滿足下列條件： 在 t≥ 0的任一區(qū)間上分段連續(xù) 。 拉氏變換是研究控制系統(tǒng)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)工具 ,它可以把時(shí)域中的微分方程 變換成復(fù)域中的 代數(shù)方程 ， 從而使微分方程的求解大為簡(jiǎn)化 。 rcc( ) ( ) ( )1( ) ( ) du t R i t u tu t i t tC???????? ?輸入量為電壓 ur(t),輸出量為電壓 uc(t) i(t)為流經(jīng)電阻 R和電容 C的電流，消去中間變量 i(t)， 可得 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ccrd ( )( ) ( )dutR C u t u tt??令 RC=T， 則上式又可寫為 ccrd ( )( ) ( )dutT u t u tt??式中 ： T稱為無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù) ,單位為秒 (s) 一般情況下把輸出變量寫在等式的左邊 ,輸入變量寫在等式的右邊。 ④ 消除中間變量 ， 寫出關(guān)于輸入 、 輸出變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 ， 即微分方程 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ② 從輸入端開始 ， 按照信號(hào)的傳遞順序 ，根據(jù)各變量所遵循的