【正文】 “ 定性分析 ” 可以包含階躍響應(yīng)的不同形式對(duì) K取值的要求，例如階躍響應(yīng)單調(diào)收斂，振蕩收斂，最佳阻尼比，系統(tǒng)穩(wěn)定等。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1118 0c o s c o s 4 50 .7 0 7?????1 , 2 22sj? ? ?對(duì)應(yīng)閉環(huán)極點(diǎn) 系統(tǒng)階躍響應(yīng)具有較好的平穩(wěn)性。 過(guò)原點(diǎn)做與根軌跡圓相切的直線，此切線與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦即為系統(tǒng)的阻尼比。 2. 當(dāng)開(kāi)環(huán)增益在（ ～ ）內(nèi)，閉環(huán)為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其階躍響應(yīng)為振蕩衰減過(guò)程。 ? 根軌跡如圖 4－ 29所示。 *K 0 ??*K圖 4－ 28 返回子目錄 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1114 解： ? 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn) 0，－ 2；有一個(gè)零點(diǎn)－ 4。 ?使系統(tǒng)穩(wěn)定的開(kāi)環(huán)增益范圍是 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1112 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng) 二階系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的性能指標(biāo)： 20 .4 4 5()0 .6 6 7 0 .4 4 5s ss?? ??2 2/1 0. 5 3. 14 / 1 0. 5% 10 0% 10 0% 16 .3 %3. 5 3. 50. 5 0. 66 7sneet s s? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ??425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1113 4－ 5系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析 ?例 4－ 15 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖 4－ 28所示。阻尼線與根軌跡交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為 ，從圖上測(cè)得 ，與之共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)為 。 ()( 1 ) ( 0 . 5 1 )KGss s s???425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1110 解： **2()( 1 ) ( 2)( 1 ) ( 2)2KGss s sKs s sKK???????圖 427 根軌跡圖 圖 427 根軌跡圖 按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖 427所示。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1108 控制系統(tǒng)具有如下的閉環(huán)傳遞函數(shù) , 試分析系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，是一對(duì)偶極子。極點(diǎn)若 iki s4???425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1106 ?偶極子 ： 就是一對(duì)靠得很近的閉環(huán)零、極點(diǎn)。 kA425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1105 三、主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子 ? 主導(dǎo)極點(diǎn) ： 就是對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程影響占主導(dǎo)地位的極點(diǎn)，一般是離虛軸最近的極點(diǎn)。 其中 s21)s(H)2(,1)s(H)1(???425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 198 4－ 5 系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)分布 與階躍響應(yīng)的關(guān)系 )()( sHsG??? ?? *K對(duì)某 ?? ?? ?零點(diǎn)?? ?? ? ）（ tr由開(kāi)環(huán) → 閉環(huán)極點(diǎn)的根軌跡 求閉環(huán)極點(diǎn) 確定閉環(huán)傳函 閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能 主要任務(wù)： 返回子目錄 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 199 一、用閉環(huán)零、極點(diǎn)表示的階躍響應(yīng)表達(dá)式 Ｎ階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為： ??????????????????niimjjnnnmmmsszsKasasabsbsbsRsCs11*110110)()()()()(????為閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)jz ?為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)is425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1100 設(shè)輸入為單位階躍： r(t)=1(t),有： ssszsKsRssCniimjj1)()()()()(11*????????????假設(shè) ?(s)中無(wú)重極點(diǎn)，上式分解為部分分式 ?? ?????????nk kknnssAsAssAssAsAsC10110)( ?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1101 )0()()(011*0??????????sniimjjsszsKA?????????????????????nkiiikkmjjkssnkiiimjjkssszsKssszsKAk11*11*)()()()(????425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1102 將 C(s)表達(dá)式進(jìn)行拉式反變換得： ?????nktskkeAtC1)0()(（ 4－ 74） ? 從上式看出，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)將由閉環(huán)極點(diǎn)及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點(diǎn)分布有關(guān)。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 196 ? 設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 討論附加零點(diǎn) z對(duì)系統(tǒng)性能的影響。圖 4 附加零點(diǎn)后的根軌跡 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 195 14 32 20zs? ? ?由 圖 看 出 ， 附 加 的 零 點(diǎn) 后 ，系 統(tǒng) 根 軌 跡 仍 有 兩 條 始 終 位 于 平 面 的 右 半 部 ，系 統(tǒng) 仍 無(wú) 法 穩(wěn) 定 。當(dāng) 0K 時(shí) ,閉 環(huán) 總 有 一 對(duì) 靠 近 虛 軸 的 共 軛 復(fù) 數(shù) 極 點(diǎn) ,所 以 系 統(tǒng) 的 階 躍 響 應(yīng) 是 衰 減 振 蕩 的 ，且 振 蕩 頻 率 隨 K 的 增 大 而 增 大 。 *12 10K s zGsss???（ ）（ ）（ ）若在系統(tǒng)中附加一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)零點(diǎn) z1，用來(lái)改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，則系上統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 將 Z1設(shè)置在 (0， 10)之間 , 則附加零點(diǎn)后的系統(tǒng)根軌跡如圖 426所示 。 0K ?Kj? ?a?1 03?6 06 0?1p2p3p? 0KK??K??425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 191 圖中兩條根軌跡位于 s平面右半部，即閉環(huán)始終有兩個(gè)右極點(diǎn)。 起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 1 2 33 , 1 1 , 1 1p p j p j? ? ? ? ? ? ? ?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 188 圖 424 例 411根軌跡圖 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 189 *2()( 1 0 )KGsss??例 :單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。利用零度根軌跡法則繪制該系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。 *2( 2 )( ) , ( ) 1( 3 ) ( 2 2 )KsG s H ss s s???? ? ?其中 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 187 解： 該系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)。 ? 根軌跡的漸近線 mnkA ???? 2a?計(jì)算公式不變。用根軌跡的方法繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 180 圖 421 例 410根軌跡圖 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 181 分析復(fù)雜控制系統(tǒng)如圖，其中內(nèi)回路為正反饋。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 179 系統(tǒng)特征方程為 ( ) ( 1 ) ( 1 ) 0aD s s s T s K? ? ? ? ?211 2( 1 )( ) ( ) aT s sG s H ss s K????等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有 3個(gè)零點(diǎn)，即 0， 0， 1； 2個(gè)極點(diǎn)，不同 K值可計(jì)算出不同極點(diǎn)。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 178 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制當(dāng)開(kāi)環(huán)增益 K為 時(shí)，時(shí)間常數(shù) 變化時(shí)的根軌跡。 2( ) ( 20) ( 4 20) 400 0D s s s s s K? ? ? ? ? ?系統(tǒng)特征方程 1 2 30 , 4 .1 , 4 .1 , 3 .4 7K? ? ?? ? ? ? ?臨解得 12s =j 4. 1, s = j4 .1則兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn) sj??令 代入 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 172 此時(shí) 特征方程 為 24 3 2( ) ( 2 0 ) ( 4 2 0 ) 4 0 0 0( ) 2 4 1 0 0 4 0 0 1 3 8 8 . 9 0D s s s s s KD s s s s s? ? ? ? ? ??