【正文】 r（ t） uc（ t） 結(jié)果部典型環(huán)節(jié)共同變換的全其動(dòng)態(tài)性能是其中所含以及微分環(huán)節(jié)的慣性環(huán)節(jié)，時(shí)間常數(shù)為的比例環(huán)節(jié)，含有sTKRCTTsTssGT1???? )(,)(76 ? 有理分式形式 傳遞函數(shù)最常用的形式是下列有理分式形式 傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式 D(s)稱為 系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 , D(s)=0稱為 系統(tǒng)的特征方程 ， D(s)=0的根稱為 系統(tǒng)的特征根或極點(diǎn) 。每個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)到質(zhì)心的距離為 l，那么產(chǎn)生的力矩為 T=Fl，假設(shè)衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J， 角位移 θ(t)為輸出量，產(chǎn)生的力矩 T為輸入量，那么根據(jù)牛頓第二定律，注意到在衛(wèi)星周圍的環(huán)境中不存在摩擦，所以有 TdtdJ ?22?lsFsJs ??? )()(2239。 (a)為系統(tǒng)的輸入變化， (b)為系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。因此，系統(tǒng)的單位脈沖輸入信號(hào)下系統(tǒng)的輸出完全描述了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，所以也是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通常稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。 ? 傳遞函數(shù)有一定的零、極點(diǎn)分布圖與之對(duì)應(yīng)，因此傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 ? 只能反映零初始條件下輸入信號(hào)引起的輸出， 不能反映非零初始條件引起的輸出。 試列寫網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù) Uc(s)/Ur(s). )()()()(22tutudt tduRCdt tudLC rccc ???)()()()(2 sUsUsR C sUsUL C s rccc ???11)()()(2 ???? RCsL C ssUsUsGrc例 如圖 RLC電路， R L C i(t) ur(t) uc(t) 解 : 零初始條件下取拉氏變換： 傳遞函數(shù)： )()()( sUsUR C sL C s rc ??? 1264 ? 性質(zhì) ? 傳遞函數(shù)是復(fù)變量 s的有理真分式函數(shù) ，分子多項(xiàng)式的次數(shù) m 低于或等于分母多項(xiàng)的次數(shù) n，所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)； ? 傳遞函數(shù)與微分方程有相通性 ，可經(jīng)簡(jiǎn)單置換而轉(zhuǎn)換； ? 傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性 。 問(wèn)題的提出 傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且還可以用來(lái)研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響 所謂零初始條件是指 1）輸入量在 t0時(shí)才作用在系統(tǒng)上，即在 時(shí)系統(tǒng)輸入及各項(xiàng)導(dǎo)數(shù)均為零； 2）輸入量在加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)為穩(wěn)態(tài)，即在 時(shí)系統(tǒng)輸出及其所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零。0?????ctcuCidtdu?i uc ur C R L 111 1)(11)()()()1()()()()(222222???????????????????????????ssssssssssUsssUssUsUsssUsUssUssUsrcrcrccc原式化為：58 )6 n ()32 n ()()6 n (]1[)23()()23()()(1)32 n ( 23si n323c o s1]111[231)23()(23)23()(1121222222122222????????????????????????????????????????????????????????tetetutesssLsssssstetetesssLsssssssttctttt59 練習(xí) – 方程兩邊進(jìn)行拉氏變換得 – 整理得 – 方程兩邊進(jìn)行拉氏反變換得 – 若 – 則 ? ?? ? 10 0 dyT y r r tdty? ? ? ???? ??)()()( srsysyTs ??? ??TsssTsTssrsy1111.111)()(?????????Ttetty ??? )(1)(? ? ? ?r t t??TsTTssy 11111)(?????TteTty?? 1)(系統(tǒng)響應(yīng)如圖所示 ? 重點(diǎn) * 建立微分方程要掌握所涉及系統(tǒng)的關(guān)鍵公式 * 例如：牛頓第二定律、克?；舴蚨?、質(zhì)量守恒定律，剛體旋轉(zhuǎn)定律等 * 建立的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 特點(diǎn)： 方法直觀，但是微分方程的求解麻煩，尤其是高階系統(tǒng)。 )(l i m)(l i m 0 ssFtf st ??? ?(5) 初值定理 ： (6) 位移定理 ： ，若原函數(shù)在時(shí)間上延遲 ，則其 象函數(shù)應(yīng)乘以 ，象函數(shù)的自變量延遲 a，原函數(shù)應(yīng) 乘以 ，即 )(lim)(lim 0 ssFtf st ??? ?)()]([ sFetfL s???? ??se ????)()]([ asFtfeL at ??ate57 例 ：用拉氏變換解微分方程 vuAivuRFCHLrc1)0()0(1,1,1??????? )( )0()0()(])([)0()(])([)()]([239。 )]([)]([)]()([ 2121 tfbLtfaLtbftafL ???)()]([ sFtfL ? )0()()]([ fssFtfL ???(3) 積分性質(zhì) 若 則 式中 為積分 當(dāng) t=0時(shí)的值。 ?? ??0)()( dtetfsF st)]([)( tfLsF ?? ?? ??? ?? jj st dsesFjtfsFL ??? )()()]([ 2 11? 拉氏反變換 為 53 ? 單位階躍函數(shù) 1(t) ? 單位階躍函數(shù)的拉氏變換為 ? 單位脈沖函數(shù) ? 單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為 ? 00 01)(1 ??? ttt 1 0 t 011()0s t s tF s e d t ess??? ?? ? ? ??? 1 000() tttt ?? ?? ????? 或? ?0( ) 1stF s t e d t??????0 t 1????t?54 ? 幾個(gè)重要的拉氏變換 f(t) F(s) f(t) F(s) δ (t) 1 sinwt 1(t) 1/s coswt t 1/(s+a) 21 sate?)( 22 wsw ?)( 22 wss ?wte at s in?wte at c o s?22)( wasw??22)( wasas???)0()()( fssFtfdtd ?? )0()0()()( 222 fsfsFstfdtd ????sfssFdttf )0()()( ????55 ? 拉氏變換的基本性質(zhì) (1) 線性性質(zhì) 原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。 ? 拉氏 (laplace)變換 ? 定義 ：設(shè)函數(shù) f(t)當(dāng) t=0時(shí)有定義，而且積分 存在， 其中 s是復(fù)數(shù) ,則稱 F(s)是 f(t)的象函數(shù) ,即 f(t)的拉氏變換。 )(1)(d )(dd )(d 222 tfKtyt tyTt tyT BM ???)()()()(,2222121tutudttduTdttudTTRCTRLTrccc ?????則令LRC? ?rut ? ?cuti 拉氏變換法求解步驟： 1. 考慮初始條件，對(duì)微分方程中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行拉氏變換，得到變量 s的代數(shù)方程； 2. 求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達(dá)式； 3. 對(duì)輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時(shí)域表達(dá)式，即為所求微分方程的解。建立 為 液位高度 ， 其中圖 所示一液位流體系 統(tǒng)例 HQ :O u t p u t , :I n p u t i設(shè)流體是不可壓縮的，應(yīng)滿足物質(zhì)守恒定律，可得： ? ?oi CdtdH ?? 1由流量公式得 HkpgQ o ??? ?? 2為常數(shù)。 ttyBtfd)(d)(1 ?在忽略彈簧質(zhì)量的情況下 )()(2 tKytf ?. 微分方程 47 f1(t)和 f2(t)為中間變量，消去中間變量，整理得 )()(d )(dd )(d 22 tftKyt tyBt tyM ???方程兩邊同時(shí)除以 K )(1)(d )(dd )(d 22 tfKtyt tyKBt tyKM ???令 KBTB ? KMTM ?2則有 )(1)(d )(dd )(d 222 tfKtyt tyTt tyT BM ??? 圖 22 彈簧－質(zhì)量－阻尼器系統(tǒng) 例 RLC電路 設(shè)回路電流為 ,由克?；舴蚨蓪懗龌芈贩匠虨椋? ( ) 1 ( ) ( ) ( )1( ) ( )rcdi tL i t Ri t u tdt cu t i t dtc? ? ????22( ) ( ) ( ) ( )cccrd u t du tL C RC u t u tdt dt? ? ???it??itLRC? ?rut ? ?cuti )()()()(,2222121tutudttduTdttudTTRCTRLTrccc ?????則令確定元件的輸入、輸出 Input： ur(t) Output: uc(t) – 消去中間變量 ，得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為 圖 23 RLC電路系統(tǒng) 之間的微分方程式。 ② 列出原始方程式。要求寫出系統(tǒng)在外力 f (t)作用下的運(yùn)動(dòng)方程式。 – 除非系統(tǒng)含有強(qiáng)非線性或參數(shù)隨時(shí)間變化較大，一般盡可能采用線性定常數(shù)學(xué)模型描述自動(dòng)控制系統(tǒng) 時(shí)域模型 微分方程 . 建立系統(tǒng)或元件微分方程的步驟 確定輸入輸出量列寫相應(yīng)微分方程微分方程消去中間變量整理標(biāo)準(zhǔn)形式I. 確定元件輸入量和輸出量 II. 根據(jù)物理或化學(xué)定律，列出元件的原始方程 ，對(duì)各元件的原始方程進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，略去一些次要因素或進(jìn)行線性化處理 IV. 消去中間變量，得到描述元件輸入和輸出關(guān)系的微分方程 V. 對(duì)微分方程進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：與輸出量相關(guān)的各項(xiàng)置于等號(hào)左側(cè)，而與輸入量相關(guān)的置于等號(hào)右邊；等號(hào)左右各項(xiàng)均按降冪排列；將各項(xiàng)系數(shù)歸化為具有一定物理意義的形式 圖 21 建立系統(tǒng)或元件微分方程的 步驟 46 例 機(jī)械位移系統(tǒng) ? 如圖表示一個(gè)彈簧 —質(zhì)量 —阻尼器系統(tǒng)。 – 如 線性時(shí)變系統(tǒng) – 如果描述一個(gè)線性系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)為時(shí)間的函數(shù)，那么稱系統(tǒng)為線性時(shí)變系統(tǒng)。我們下面研究的系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)或能等效為線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)。但在實(shí)際系統(tǒng)中，絕對(duì)線性的系統(tǒng)是不存在的，通常所謂的線性系統(tǒng)也是在一定的工作范圍內(nèi)才保證線性的，如放大器，在小信號(hào)時(shí)可能出現(xiàn) “ 死區(qū) ” ，在大信號(hào)時(shí)，又可能出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，如圖所示即為幾種常見(jiàn)的非線性的關(guān)系曲線。 42 非線性系統(tǒng) – 不滿足疊加原理的系統(tǒng)，就是非線性系統(tǒng)。若其各項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，則稱為 線性定常系統(tǒng) 。這類系統(tǒng)的基本特性，即輸出響應(yīng)特性、狀態(tài)響應(yīng)特性、狀態(tài)轉(zhuǎn)移特性等均滿足線性關(guān)系。在實(shí)際系統(tǒng)中，大多數(shù)系統(tǒng)都是分布式參數(shù)系統(tǒng)，但由于偏微分方程求解比較困難，因此在一定誤差允許范圍內(nèi)，對(duì)系統(tǒng)作一個(gè)近似，近似為集中參數(shù)系統(tǒng)，這樣就可以用微分方程進(jìn)行分析。這類系統(tǒng)建立的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是偏微分方程。 這類系統(tǒng)建立的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是微分方程。