【正文】 章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 對方程組 M X b? 做等價變換 X A X f?? 與非線性方程的迭代方法一樣，需要我們構(gòu)造一個等價的方程，從而構(gòu)造一個收斂序列，序列的極限值就是方程組的根 167。計算 L的各列與 U的各行的次序如圖 。 LUA ?第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 ? Doolittle分解法 ： 通過比較法直接導(dǎo)出 L 和 U 的計算公式。 4 矩陣的三角分解 y 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 定理： 若 A的所有順序主子式 均不為 0，則 A 的 LU 分解唯一（其中 ： L 或 U為 單位 三角陣）。 4 矩陣的三角分解 212111ala?第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 211 311111.. . .. .1nlFll??????????????????1111...11nnnFl??????????????… 1 2 2 1...nnF F F F A U?? ?167。 4 矩陣的三角分解 復(fù)習(xí) 矩陣的初等變換 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 1...1( ( ) ) ... ...... 1...1E ji kk???????????????????????復(fù)習(xí) 矩陣的初等變換 167。 其具體計算步驟為 : 對 k = 1,2,…,n ① 選主元 (列選或全選主元 ) ② 對 j= k,k+1,…,n+1計算 kjkjkka aa?第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 ③ ④ 計算 還得指出 ,若用到全選主元 ,最后應(yīng)注意恢復(fù)解的順序 。 特別是方程組還可化為 ()11()2 2()11nnnn nbxx bx b????? ? ? ????? ??????? ?????? ?????????? ??第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 顯然等號右端即為方程組的解 。 但對消元過程稍加改變可以把方程組化為對角形： *D x b?1ndDd?????????第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 此時求解就不要回代了 。 值得注意的是： 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 圖 找 各子系數(shù)矩陣 最大值 換行、 換列 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 圖 恢復(fù)解的順序 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 167。 經(jīng)過 n1次消元后 ,方程組可化為上三角形方程組 ? 全主元消去法 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 例 2 用全主元素消去法求解方程組 ① ② ③ 解這里主元為 18,交換方程①與方程②得 ① ② ③ 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 再全選主元 ， 主元為 ， 交換 x2和 x3所在的兩列 ， 同時改變兩未知數(shù)的排列號得： ① ② ③ ③ ② ① ② ③ 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 已經(jīng)化為三角方程組 ， 回代求解： x1=， x2=， x3= 這里未知數(shù) x2與 x3已對調(diào) ， 所以應(yīng)恢復(fù)解的順序 ，方程組的實際精確解為： x1=， x2=， x3= 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 在全主元素的消元過程中，其系數(shù)矩陣可能進(jìn)行了 列 對調(diào)，那么未知數(shù)也相應(yīng)地作了對調(diào)。 k++) { b[j] = b[j] – a[j][k] * b[k] } b[j] = b[j] / a[j][j]。 j) { for (k=j+1 。 for (j = n2 。 } b[i] = b[i] – mm * b[k] 。 jn。 a[i][k] = 。 in。 b[mk] = f。 } f = b[k]。 a[k][j] = a[mk][j]。 jn。} if (fabs(mm)=0) return (ERROR_CODE)。 i++ ) if (fabs(mm)fabs(a[i][k])) {mm=a[i][k]。 for (i=k+1。 k++) { mm=a[k][k]。 for (k=0。 a— A消元后的上三角矩陣 b— 矩陣方程的解 X */ 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 double Gaussian_elimination(int n, double a[n][n]， double b[n]) { int i, j, k, mk。 其中： A是 N N矩陣； B是 N 1矩陣。 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 取四位有效數(shù)字計算 。 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 所謂列主元素消去法就是在每一步消元過程中取系數(shù)子矩陣的第一列元素中絕對值最大者作主元 。 它的基本思想是在逐次消元時總是選絕對值最大的元素(稱之為主元 )做除數(shù) ， 按順序消去法的步驟消元 。 ( 1 ) 0kkka ? ?( 1) 0kkka ? ?第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 例如： 用高斯消去法求解下列方程組 (用四位有效數(shù)字計算 ): 5121210 0. 61xxxx?? ??? ???① ② 51221 0 0 . 69 9 9 9 9 5 9 9 9 9xxx?? ??? ??② ① 10 5 x2= 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 化簡可得 x2= 回代求得 x1=105()=0 而方程組的解應(yīng)為 x1= x2= 51221 0 0 . 69 9 9 9 9 5 9 9 9 9xxx?? ??? ??第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 顯然用上述方法求出的解 x1與方程組的實際解相差很大 。 1 高斯消去法 一、高斯消去法 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 且 aii≠0,i=1,2,…,n 11 12 1 1 122 2 1 21 1 1...0 ......0 0 ...0 0 ... 0nnnnn n n nnna a a aa a aaaa??? ? ???????????112...nnxxxx?????????????????112...nnbbbb?????????????????A X B 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 112 1 2 21 1 1 2 1 11 2 1 10 .. . 0 0.. . 0 0..... . 0...n n n nn n n n n naaaa a aa a a a? ? ? ?????????????112...nnxxxx?????????????????112...nnbbbb?????????????????11( ) / , 1 , 3 , , 1 , 2ii i i k k i ikx b a x a k i i??? ? ? ??? ? ??1 1 1 1/x b a?第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 ???????????nnnnnnnbxaxabxaxa???111111111 12 1 1 121 22 2 1 211 12 1 1 11 2 1 1...............nnnnn n n n n nn n n n nna a a aa a a aAa a a aa a a a??? ? ? ? ??????????????第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 高斯消去法 思路 首先將方程組 Ax=b 化為上三角方程組，此過程稱為 消去過程 ，再求解上三角方程組，此過程稱為 回代過程 . 第 3章 線性代數(shù)計算方法 《計算方法》 1 2 31 2 31 2 34 7 12 5 8 13 6 1 1 1x x xx x xx x x? ? ???? ? ??? ? ? ??1 2 222234 7 13 6 16 1 0 2x x xxxxx? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??1 2 32334 7 13 6 120x x xxxx? ? ???? ? ? ??? ??11( , , 0 )33Tx ??② ① 2 ③ ① 3 ③ ②