【正文】 數(shù)學(xué)歸納法 ● 公式法 ● 拆項法 ● 乘積法 ● 析因子法 ● 齊次線性方程組有非零解的充要條件 ● 克拉默法則 應(yīng)用 第二章 矩陣及其運算 167。 ● 某行有公因子可以提到行列式的外面。 解：方程組的系數(shù)行列式為 111111???? （ λ +2） 2( 1)??顯然當 λ ≠－ 2， λ ≠ 1時，方程組有唯一解。 所以，當 或 時，上面方程組有非零解。 一 .非齊次線性方程組的克拉默法則 ???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa????????????22112222212111212111(1) 設(shè)非齊次線性方程組 njDDx jj ,2,1, ???(3) 則線性方程組 (1)有唯一解 若 (1)的系數(shù)行列式 0212222111211??nnnnnnaaaaaaaaaD???????(2) njDDx jj ,2,1, ???njDDx jj ,2,1, ???.,2,1,2211 nibxaxaxa ininii ?? ?????.,2,1,2211 nibDDaDDaDDa ininii ?? ????? 即證明： 等式成立 證明： 先證 是（ 1）的解， 要證 是（ 1）的解，只須證 明（ 3）滿足（ 1）即可，為此把（ 1）改寫成： nnnjnninijiinjinijiinaaabaaabaaabaaabD????????????????????111111111?? 做 n+1階行列式 顯然 . 把 按第一行展開 .需要求出第一行 每個元素的代數(shù)余子式 .第一行元素 的代數(shù)余子式為 : 01 ??nD 1?nDija所以 022111 ??????? niniiin DaDaDaDbD ?即 的解是這說明 )1(,2,1,2,12211njDDxnibDDaDDaDDajjininii??????????nnjnnjnnnjjjjaabaaaabaa?????????1,1,111,111,11112 )1()1(?????? ???.,2,1)1()1( 12 njDD jjjj ??????? ??nnjnjnnnnjjjijaaaabaaaabA?????????1,1,111,11,111111)1(???????? 再證唯一性 .假設(shè) 也是 (1)的解 .在 (2)兩端同時乘以 njcx jj ,2,1, ???jcnnjnjnnjjjacaaacaaDc???????11111?nnnnnjnjnnnnnjjacacacaaacacacaa???????????)()(11111111111?????????由于 , 所以 故線性方程組 (1)有唯一解 (3). 0?D.,2,1 njDDc jj ???jnnnnnDabaaba?????????11111例 ??????????????????????067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解 : 6741212060311512??????D127702120603113570??????12772121357?????277010353???????? .272733?????8167402125603915181????????D 10 867012150609115822????????D2760412520693118123??????D 2707415120903185124???????D 定理 （ 1）的系數(shù)行列式 D不等于 0, 則 (1)有唯一的解 . 定理 .如果線性方程組 (1)無解或有多個解，則它的 系數(shù)行列式必為 0. 于是得原方程組的解為 ?????????????11434321xxxx2? 二 .齊次線性方程組的克拉默法則 設(shè)齊次線性方程組 ???????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????????(4) 若 (4)的系數(shù)行列式 0212222111211??nnnnnnaaaaaaaaaD??????(5) 則 (4)沒有非零解 . . 定理 .如果齊次線性方程組 (4) 有非零解 ,則它的系數(shù)行列式必為 0。 ni k j k i jkDia A Di?????? ????當當 j , 0 j。 321421431432432132110214101431043210? 321121411431432110 ??111022203110432110????????1 2022400013003110432122423???????rrrr167。 故 ? ?ni npipppt akaaaD ??21 2111? ??kD?ni npipppt aaaak ??? ??21 21)1( ? 推論 行列式中某一行 （ 列 ） 的所有元素的公因子可以提到行列式的外面 . ?例如 53102251111256102451121?? ? 性質(zhì) 4 行列式中如果有兩行 （ 列 ）元素成比例 ， 則此行列式等于零 . ?例如 03219453212642945321????nnnjnjnnjjnjjabaaabaaabaaD?????????)()()(12222111111?????nnnjnnjnjabaabaaba???????????122211111nnnjnnjnjaaaaaaaaa???????????122211111? 性質(zhì) 5 若行列式的某一列（行）的元素 都是兩數(shù)之和 ， 則 D 等于下列兩個行列式之 和：即 例如 計算 221111222112112222111211babaaaaabaabaa????333231232221131211aaaaaaaaaD ?313332312123222111131211kaaaakaaaakaaaa????? 例如 性質(zhì) 6 把行列式的某一列（行）的 各元素乘以同一個數(shù)然后加另一列（行） 對應(yīng)的元素上去，行列式不變 . 三、用行列式的性質(zhì) 計算行列式 ?例 1 計算 3351110243152113???????D3351110243152113???????D7216064801120213132?????? rr1510001080011201131842423??????rrrr121 3 1 21 5 3 40 2 1 15 1 3 3cc????????解：21411 3 1 20 8 4 65 0 2 1 10 1 6 2 7rrrr?? ??????2500010800112021314534 ???? rr40??例 2. 計算 3111131111311113?D3111131111311113?D31111311113166664321rrrr ???解： 31111311113111116? 4862022020000201111141312?????rrrrrr ?例 3 計算 dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD???????????????????3610363234232? 解： 從倒數(shù)的二行開始，把前一行的（ 1）倍加到后一行上去 。 jiij ab ?顯然按定義? ?nji ,2,1, ??D?? ? npppt naaa ?21 211? ??? ? nnppptT bbbD ?21 211? ?? 性質(zhì) 2 互換行列式的兩行（列），行列式變號。 一 . 轉(zhuǎn)置行列式 ? ? 把行列式的行換成 同序數(shù) 的列而得到的行列式稱為原行列式的轉(zhuǎn)置行列式 。 有了 n階行列式的定義 ， 我們就可以計算 n階行列式 ， 在計算幾種特殊行列式的過程中 ， 發(fā)現(xiàn)直接用定義計算是非常麻煩 。 1212( 1 ) nt P P n Pa a a?12 nP P P ? 這樣的排列共有 n!個，所有這些項的代數(shù) 和稱為 n階行列式 。 通過計算可知 3 1 5 2 4 的逆序數(shù)為 ? t=1+2+0+1+0=4 ? 可見排列 3 2 5 1 4 為 奇排列 ，而 3 1 5 2 4 為 偶排列 ， 可見一個排列中的任意兩個元素 對換 ，排列改變 奇偶性 。逆序數(shù)是奇數(shù)的排列叫做 奇排列 ，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列叫做 偶排列 。依此類推 ， 直到最后剩下一個元素放在最后位置上 ， 只有一種取法； ? 于是： ( 1 ) 3 2 1 !nP n n n? ? ? ? ?2. 逆序數(shù) ? 對于 n個不同的元素，可規(guī)定各元素之間有一個標準次序（例如， n個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序）。 1 階行列式的定義 ? 二元線性方程組 ???????22221211212111bxaxabxaxa一、 n階行列式的引出 用消元法求解，得 ： 211211221122211212221121122211)()(ab