【正文】 ?nnnnaaaaaaA??????21222111000 ????????????????n??????????00000021 ???????????????100010001???????E ),(11211 naaaA ?? ???????????????12111mbbbB? ???????????????000000000???????O 兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相同的矩陣稱為同型矩陣 . 為同型矩陣和如 nmnm BA ?? 為對稱矩陣則稱且設 AaaaA jiijnnij ,)( ?? ?為反對稱矩陣則稱且設 AaaaA jiijnnij ,)( ??? ?( ) , ( )i j m n i j m na a A aA??? ? ? ?設稱為矩陣 的負矩陣167。 所以，當 或 時，上面方程組有非零解。 故 ? ?ni npipppt akaaaD ??21 2111? ??kD?ni npipppt aaaak ??? ??21 21)1( ? 推論 行列式中某一行 （ 列 ） 的所有元素的公因子可以提到行列式的外面 . ?例如 53102251111256102451121?? ? 性質 4 行列式中如果有兩行 （ 列 ）元素成比例 ， 則此行列式等于零 . ?例如 03219453212642945321????nnnjnjnnjjnjjabaaabaaabaaD?????????)()()(12222111111?????nnnjnnjnjabaabaaba???????????122211111nnnjnnjnjaaaaaaaaa???????????122211111? 性質 5 若行列式的某一列（行）的元素 都是兩數(shù)之和 ， 則 D 等于下列兩個行列式之 和：即 例如 計算 221111222112112222111211babaaaaabaabaa????333231232221131211aaaaaaaaaD ?313332312123222111131211kaaaakaaaakaaaa????? 例如 性質 6 把行列式的某一列（行）的 各元素乘以同一個數(shù)然后加另一列（行） 對應的元素上去，行列式不變 . 三、用行列式的性質 計算行列式 ?例 1 計算 3351110243152113???????D3351110243152113???????D7216064801120213132?????? rr1510001080011201131842423??????rrrr121 3 1 21 5 3 40 2 1 15 1 3 3cc????????解：21411 3 1 20 8 4 65 0 2 1 10 1 6 2 7rrrr?? ??????2500010800112021314534 ???? rr40??例 2. 計算 3111131111311113?D3111131111311113?D31111311113166664321rrrr ???解： 31111311113111116? 4862022020000201111141312?????rrrrrr ?例 3 計算 dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD???????????????????3610363234232? 解： 從倒數(shù)的二行開始，把前一行的（ 1）倍加到后一行上去 。 1212( 1 ) nt P P n Pa a a?12 nP P P ? 這樣的排列共有 n!個，所有這些項的代數(shù) 和稱為 n階行列式 。 1 階行列式的定義 ? 二元線性方程組 ???????22221211212111bxaxabxaxa一、 n階行列式的引出 用消元法求解，得 ： 211211221122211212221121122211)()(abbaxaaaabaabxaaaa??????? 當 時， ? 求得方程組有唯一解： 021122211 ?? aaaa211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx??????引入二階行列式 22111121121122221212122211babaabbaDababbaabD??????2221121121122211 aaaaaaaaD ???方程組的解可以寫成： ???????DDxDDx2211 二階行列式的計算 ? 例如 23)2(4353425???????例 解二元線性方程組 ???????542132121xxxx求解方程 104231????D1945311 ????D 352112 ??D101911 ?? DDx 22310DxD? ? ?2. 三元線性方程組 ??????????????333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法可求得，當 0333231232221131211??aaaaaaaaaD 時， 三元線性方程組有唯一解： ????????????DDxDDxDDx332211其中： 3332323222131211aabaabaabD ?3333123221131112abaabaabaD ? 1 1 1 2 13 2 1 2 2 23 1 3 2 3a a bD a a ba a b?三階行列式的定義 ? 322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD???????例如 三階行列式的計算 762843951987654321?????????0?3 5 72 4 91 6 8 例 解 三元線性方程組 ????????????????021515321321321xxxxxxxxx6211151511?????D 182101515111 ????D62011115112????D 60111511113??????D311 ??? DDx 122 ??? DDx 133 ?? DDx3. n元線性方程組 nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2構造： nnnnnnaaaaaaaaaD??????212222111211?nnnnnnjabaabaabaD?????????122211111?nj ,2,1 ??提出三個問題 DDx jj ? nj ,2,1 ???（ 1） D=？ （怎么算）？ ?（ 2）當 D≠0時，方程組是否有唯一解？ ?（ 3）若 D≠0 時，方程組有唯一解，解的 形式是否是 二、全排列及其逆序數(shù) ? 全排列 ? 用 1， 2， 3三個數(shù)字可以排 6個不重復三位數(shù)即： 123， 231， 312， 132， 213， 321 ? 一般地 ， 把 n個不同的元素排成一列 ， 共有 幾種 不同的排法 ？ ? 這是一個全排列問題 。 內容與任務 ? 線性代數(shù)是研究有限維線性空間及其線性變換的基本理論，包括行列式、矩陣及矩陣的初等變換、線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型等內容。 用途與特點 ? 線性代數(shù)理論不僅為學習后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學基礎，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)如國防技術中有著廣泛的應用，是理工科大學生的一門重要的數(shù)學基礎課。于是，在這 n個元素的任意排列中，當某兩個元素的前后次序與標準次序不同時，就說產(chǎn)生了一個 逆序 ，一個排列中所有逆序的 和 叫做這個排列的 逆序數(shù) 。 當行列式的階數(shù)較高時 ， 計算是十分困難的 ， 為了簡化 n階行列式的計算 ， 我們這一節(jié)主要研究行列式的性質 。 3 行列式按行（列）展開 一. 余子式和代數(shù)余子式 在 n階行列式中 ， 把元素 所在第 i行和第 j列劃去后 ， 留下來的 n－ 1階行列式叫做元素 的余子式 .記作 .即 的余子式記作 . 的代數(shù)余子式 ijMijM? ? ijjiij MA ??? 1第三講 ....ijaija 中元素 的余子式和代數(shù)余子式分別為 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?44434124232114131132aaaaaaaaaM ? 32M32a例如四階行列式? ? 323 2 3 21AM ?? ? ? ? 二 .行列式按行（列）展開定理 引理 設 D為 n階行列式 ， 如果 D的第 i行所有 元素除 外 ， 其余元素均為零 ， 那么行列式 D等 于 與其代數(shù)余子