【正文】 線性代數(shù) 課程的性質(zhì) ? 線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論課之一。它既是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必修課，也是學(xué)習(xí)其他專業(yè)課的必修課。 內(nèi)容與任務(wù) ? 線性代數(shù)是研究有限維線性空間及其線性變換的基本理論，包括行列式、矩陣及矩陣的初等變換、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型等內(nèi)容。 ? 既有一定的理論推導(dǎo)、又有大量的繁雜運(yùn)算。有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問題和動(dòng)手解決問題的能力。 用途與特點(diǎn) ? 線性代數(shù)理論不僅為學(xué)習(xí)后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)如國(guó)防技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是理工科大學(xué)生的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。該課程的特點(diǎn)是：公式多，式子大，符號(hào)繁，但規(guī)律性強(qiáng)，課程內(nèi)容比較抽象，需要學(xué)生具備一定的抽象思維能力，邏輯推理能力，分析問題能力和動(dòng)手解決實(shí)際問題的能力。 第一章 行列式 ? 本章主要介紹 n階行列式的定義， 性質(zhì)及其計(jì)算方法。此外還要介紹用 n階行列式求解 n元線性方程組的克拉 默 （ Cramer） 法則。 167。 1 階行列式的定義 ? 二元線性方程組 ???????22221211212111bxaxabxaxa一、 n階行列式的引出 用消元法求解，得 ： 211211221122211212221121122211)()(abbaxaaaabaabxaaaa??????? 當(dāng) 時(shí)， ? 求得方程組有唯一解： 021122211 ?? aaaa211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx??????引入二階行列式 22111121121122221212122211babaabbaDababbaabD??????2221121121122211 aaaaaaaaD ???方程組的解可以寫成： ???????DDxDDx2211 二階行列式的計(jì)算 ? 例如 23)2(4353425???????例 解二元線性方程組 ???????542132121xxxx求解方程 104231????D1945311 ????D 352112 ??D101911 ?? DDx 22310DxD? ? ?2. 三元線性方程組 ??????????????333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法可求得，當(dāng) 0333231232221131211??aaaaaaaaaD 時(shí)， 三元線性方程組有唯一解： ????????????DDxDDxDDx332211其中： 3332323222131211aabaabaabD ?3333123221131112abaabaabaD ? 1 1 1 2 13 2 1 2 2 23 1 3 2 3a a bD a a ba a b?三階行列式的定義 ? 322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD???????例如 三階行列式的計(jì)算 762843951987654321?????????0?3 5 72 4 91 6 8 例 解 三元線性方程組 ????????????????021515321321321xxxxxxxxx6211151511?????D 182101515111 ????D62011115112????D 60111511113??????D311 ??? DDx 122 ??? DDx 133 ?? DDx3. n元線性方程組 nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2構(gòu)造： nnnnnnaaaaaaaaaD??????212222111211?nnnnnnjabaabaabaD?????????122211111?nj ,2,1 ??提出三個(gè)問題 DDx jj ? nj ,2,1 ???（ 1） D=？ （怎么算）？ ?（ 2）當(dāng) D≠0時(shí)，方程組是否有唯一解？ ?（ 3）若 D≠0 時(shí)，方程組有唯一解，解的 形式是否是 二、全排列及其逆序數(shù) ? 全排列 ? 用 1， 2， 3三個(gè)數(shù)字可以排 6個(gè)不重復(fù)三位數(shù)即： 123， 231， 312， 132， 213， 321 ? 一般地 ， 把 n個(gè)不同的元素排成一列 ， 共有 幾種 不同的排法 ？ ? 這是一個(gè)全排列問題 。 從 n個(gè)元素中任取一個(gè)放在第一個(gè)位置上 ， 有 n種取法 ； ? 在從剩下的 n1個(gè)元素中任取一個(gè)元素 ，放在的第二個(gè)位置上有 n1種取法 。依此類推 ， 直到最后剩下一個(gè)元素放在最后位置上 ， 只有一種取法； ? 于是： ( 1 ) 3 2 1 !nP n n n? ? ? ? ?2. 逆序數(shù) ? 對(duì)于 n個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序（例如， n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序）。于是，在這 n個(gè)元素的任意排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的前后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說產(chǎn)生了一個(gè) 逆序 ，一個(gè)排列中所有逆序的 和 叫做這個(gè)排列的 逆序數(shù) 。逆序數(shù)是奇數(shù)的排列叫做 奇排列 ，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列叫做 偶排列 。 3. 逆序數(shù)的計(jì)算方法 ???????niin ttttt121 ?),2,1( niP i ??12 nP P P 不妨設(shè)元素為 1至 n個(gè)自然數(shù)，并規(guī)定有小 到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，設(shè) 為這個(gè)自然數(shù) 的一個(gè) n級(jí)排列，考慮元素 ， ip ipitit如果比 大的，且排在 前面的元素有 個(gè)， 說這個(gè)元素的逆序是 個(gè)，全體元素逆序之和 即是 的逆序數(shù)， 12 nP P P? 例如 ， 設(shè)排列 3 2 5 1 4,其逆序數(shù)為： t=1+3+0+1+0=5 當(dāng)我們把上面排列改為 3 1 5 2 4， 相當(dāng)于把 3 2 5 1 4 這個(gè)排列的第 4兩個(gè)數(shù)碼對(duì)換 （ 將一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào) ，其余的元素不動(dòng) ， 這種作出新排列的手續(xù)叫做 對(duì)換 ） 。 通過計(jì)算可知 3 1 5 2 4 的逆序數(shù)為 ? t=1+2+0+1+0=4 ? 可見排列 3 2 5 1 4 為 奇排列 ，而 3 1 5 2 4 為 偶排列 ， 可見一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素 對(duì)換 ，排列改變 奇偶性 。 ? 定義 1 設(shè)有 n2個(gè)數(shù)，排成 n行 n列的數(shù)表 三、 n階行列式的定義 nnnnnnaaaaaaaaa??????212222111211? 作出表中位于不同行不同列的 n個(gè)數(shù)的 乘積，并冠以符號(hào) (1)t，得到形如 的項(xiàng)，其中 為自然數(shù) 1， 2， … n， 的一個(gè)排列， t 為這個(gè)排列的逆序數(shù)。 1212( 1 ) nt P P n Pa a a?12 nP P P ? 這樣的排列共有 n!個(gè)，所有這些項(xiàng)的代數(shù) 和稱為 n階行列式 。記為 : ? ?? nnPPPt aaaD ?21 21)1()d e t ( ijaD ?? 也可記為 : 行列式的其他定義 ? 另一種定義形式為 : ? ??? nn pqpqpq aaaD ?2211)1( ??? ?? nqqqt naaaD ?21 21)1(? 同理，也可以定義為 : 四、幾種特殊的行列式 ? （ 1） 對(duì)角行列式 nn????????212100?nnnn????????212)1(21)1(00???? （ 2） 下（上）三角行列式 nnnnnnaaaaaaaaa?????2211212221110?nnnnnnaaaaaaaaa?????221122211211?? （ 3） 21111111111111111111110DDbbbbaaaabbccbbccaaaaDnnnnkkkknnnnknnkkkkk???????????????????????kkkkaaaaD????11111?nnnnbbbbD????11112?? 其中 ， 第二講 167。 有了 n階行列式的定義 ， 我們就可以計(jì)算 n階行列式 ， 在計(jì)算幾種特殊行列式的過程中 ， 發(fā)現(xiàn)直接用定義計(jì)算是非常麻煩 。 當(dāng)行列式的階數(shù)較高時(shí) ， 計(jì)算是十分困難的 ， 為了簡(jiǎn)化 n階行列式的計(jì)算 ， 我們這一節(jié)主要研究行列式的性質(zhì) 。 一 . 轉(zhuǎn)置行列式 ? ? 把行列式的行換成 同序數(shù) 的列而得到的行列式稱為原行列式的轉(zhuǎn)置行列式 。 即 ? nnnnnnaaaaaaaaaD??????212222111211?nnnnnnTaaaaaaaaaD??????212221212111?稱 DT為 D的轉(zhuǎn)置行列式． 二．行列式的性質(zhì) 性質(zhì) 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 . ? 證 設(shè) nnnnnnTbbbbbbbbbD??????212222111211?nnnnnnaaaaaaaaaD??????212222111211? ? 由此性質(zhì)可知 ， 行列式的 行與列具有相同的地位 ， 行列式的性質(zhì)凡是對(duì) 行 成立的對(duì) 列 也同樣成立 ， 反之亦然 。 jiij ab ?顯然按定義? ?nji ,2,1, ??D?? ? npppt naaa ?21 211? ??? ? nnppptT bbbD ?21 211? ?? 性質(zhì) 2 互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。 kpkp ab ?ipjpjpip abab ?? , 時(shí)即當(dāng) jik ?11 12 11212