[理學(xué)]線性代數(shù)電子教案(已修改)
2025-10-23 21:32 本頁面
【正文】 主講： 郭智 第四章 線性方程組 167。 1 齊次線性方程組 167。 2 非齊次線性方程組 167。 4－ 1 加減消元法 消元法求解 解的存在性問題 一、消元法 設(shè)線性方程 a11x1+a12x2+…+ anxn=b1 a21x1+a22x2+…+ a2nxn=b2 …………………………… an1x1+an2x2+…+ an n xn=bn (1) 系數(shù)矩陣行列式 D = |A|?0，根據(jù)在萊姆法則方程組有唯一解 . ?????????????????????????????????DDDDDDxxxnn??2121可以用加減消元法求 . 加減消元 : 1) 某個方程乘一個數(shù)加到另一個方程上 2) 某方程兩邊乘一個非零數(shù) . 對方程組的上述變換，本質(zhì)上是對其增廣矩陣 作初等行變換 . ???????????????nnnnnnnbaaabaaabaaaA????????21222221111211A是滿秩矩陣 初等行變換 單位矩陣 A??????????????nccc11121??后矩陣對應(yīng)的方程組為 ?????????????????????????????ncccnxxxE??2121 原方程組的解為 ?????????????????????????????nncccxxx??2121 例 1. 用消元法解線性方程組 x1?2x2 + x4 = ?1， 2 x1?2x2 + x3 ? 4x4= 6， 2 x1 +2x2 ? x3 + x4= 5， ?2x2 + 5x3 ?2x4= ?1. 解 ：對增廣矩陣 A作初等行變換 ???????????????????????22540511226412211021A r3?2r1 r2?2r1 ??????????????????????22540711608632011021 r4+2r2 r3?3r2 ????????????????????14141100171710008632011021????????????????????1047104700017171000863201102134 1110rr ????????????????????1100017171000863207530147104?r r1+r2 ????????????????????11000171710001029109020101910100131 103 rr ? r3?17r4 32 103 rr ?????????????????11000001000202102021141 101 rr ?42 109 rr ???????????????? 11000001001001020211212?r)101(3 ??r得原方程組的解為 ??????????????????????????????1012 4321xxxx二、線性方程組的解的存在性 1. 兩個例子 例 1. x3 + x4= 5 2 x1 +x2 ? x3 +4 x4= 2 2 x1+x2 + x3 +6 x4= 10 ,1061122411251100????????????A解 ： 方程組的增廣矩陣為 ???????????1061122411251100 交換 ?、 ?行 ?????????? ?1061125110024112???????????????82200511001221211?行 ?(–2)+?行 ????????????????20210511001221211?行 ?(–1)+?行 2)(,3)( ?? ArAArA 的秩而系數(shù)矩陣的秩 最后一個矩陣表示原線性方程經(jīng)消元變成下面的方程組 x 3 + x 4 = 5 0 = – 2 (4) 122121 4321 ???? xxxx最后一個方程 0= –2是矛盾的 . 說明原方程組無解 . 第二例是方程組 x3+x4=5 2x1+x2–x3+4x4=2 2x1+x2+x3+6x4=12 寫出增廣陣并做行的變換 ???????????1261122411251100 交換 ?、 ?行 ?????????? ?1261125110024112行行，行加到 21 1 ??? ? ? ? ???????????????102200511001221211–2 ? ?行 加到 ?行 ???????????????00000511001221211在上塊為階梯形， b2=0, 則方程組有無限多解 . 事實上，寫出對應(yīng)于階梯形矩陣的方程 x3+x4=5 122121 4321 ???? xxxx2)(,2)~( ?? ArAr2. 存在性定理 線性方程組 A x=b 的增廣矩陣 ???????????
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