線性代數(shù)-矩陣第二章課件(已修改)
2025-08-17 11:00 本頁面
【正文】 第二章 矩陣 ? 1．矩陣的概念； ? 2．矩陣的代數(shù)運(yùn)算； ? 3．矩陣的初等變換； ? 4．矩陣的求逆運(yùn)算； ? 5．分塊矩陣。 一 . 矩陣的概念 ? 方程組 ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????22112222212111212111系數(shù)排成一個(gè)矩形數(shù)表 ??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211這就是 矩陣 由 m?n個(gè)數(shù)按一定的 次序排成的 m行 n列的 矩形數(shù)表稱為 m?n矩 陣 ,簡稱 矩陣 . 橫的各排稱為矩陣的 行 ,豎的各排稱為矩陣的 列 ija稱為矩陣的第 i行 j列的 元素 . 元素為實(shí)數(shù)的稱為 實(shí)矩 陣 ,我們只討論實(shí)矩陣 . 矩陣通常用大寫字母 A、 B、 C等表示，例如 ???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211簡記為 nmijaA ?? )()( 11211 naaa ???????????????12111maaa?行矩陣 列矩陣 腳標(biāo) ????????????????nnnnnnnnaaaaaaaaaA???????212222111211當(dāng) m=n時(shí)，即矩陣的行數(shù)與列數(shù)相同時(shí) ,稱矩陣為 方陣 。 nnaaa , 2211 ?稱為 對角線元素 幾種特殊形式的矩陣 ????????????0000.1?????nmO????????????nnaa?11.2??????????kk?.3??????????11.4 ??nE??????????????nnnnaaaaaa????22211211.5??????????????nnnnaaaaaa????21222111.6二 .矩陣的代數(shù)運(yùn)算 一、線性運(yùn)算 :兩個(gè)矩陣相等是指這兩個(gè)矩陣有相同 的行數(shù)與列數(shù) , 且對應(yīng)元素相等 .即 ? ? nmijaA ?? ? ? nmijbB ??= 型號相同 ijij ba ?對應(yīng)元素相等 、減法 ? ? nmijaA ?? ? ?nmijbB ??設(shè) 同型 矩陣為 與 定義 nmijij baBA ???? )( nmijij baBA ???? )(顯然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+O=O+A=A AA=O 負(fù)矩陣 ? ? nmijaA ??的負(fù)矩陣為 記作 A,即 ? ? nmijaA ????? ? nmija ?? ??????????????mnmmnnkakakakakakakakaka???????212222111211稱為數(shù)與矩陣的乘法，簡稱為 數(shù)乘 。記作： kA ?kA1?k A 1??k A?AA ?1 OoA ?kBkABAklAkAAlkkAllAkAklkAkA??????????)(,)()()()(,nA k A k A?是 方 陣 ， 則二、 矩陣的乘法 ?3132121111 xaxaxay ???3232221212 xaxaxay ??????????????232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx與 232132212121113113211211111)()(tbababatbababay??????232232222122113123212211212)()(tbababatbababay??????????????? ?????????232221131211aaaaaaA???????????323122211211bbbbbbB????????????????322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa????????232221131211aaaaaa??????????323122211211bbbbbbsmijaA ?? )( nsijbB ?? )(一般地，有 nmijc ?? )(sjisjijiij bababac ???? ?2211= ABC ?)( 21 isii aaa ???????????????sjjjbbb?21ijc?3132121111 xaxaxay ???3232221212 xaxaxay ??????????????232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx???????????????????????????32123222113121121xxxaaaaaayy?????????????????????????????21323122211211321ttbbbbbbxxx與 232132212121113113211211111)()(tbababatbababay??????232232222122113123212211212)()(tbababatbababay???????????????則 ?????????????????23222113121121aaaaaayy??????????????????21323122211211ttbbbbbbnssmnm BAC ??? ???????????????????????1111,11111 BA：例?AB0????????000 = O ???????????2222BABAAB ?顯然 這正是 矩陣與 數(shù)的不同 A B B A????????????????????????????????1101,1241,63422 CBA：例??????????????????????6946,6946ACABACAB ??CB ?但是 這又是 矩陣與 數(shù)的不同 請記?。? ； ； 。 nnmnmmEAAAEkBABkAABkCABAACBACABCBABCACAB?????????????.4)()()(.3)()(.2)().(1BAABBA?則為同階方陣設(shè) ,.5AB? BA?請?zhí)貏e注意 性質(zhì) 5,如果 不是同階方 陣結(jié)果不成 立 . 成立嗎mnnmmnnm BABA ???? ?不成立 ! 課本 P39: 例 三、方陣的正整數(shù)冪 lklk AAA ??AAAA k ??k個(gè) 定義 n階 方陣的 k次冪 為： kmmk AA ?)(顯然 EA ?0規(guī)定 kkk BAAB ?)(注意 問等式階方陣為與設(shè) ,nBA? ?? ?BABABA ???? 22成立的充要條件是什么 ?
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