【正文】 始角 /終止角） 1) π( 2 km1j)jz(s)n1i ip(s ?????????????????????????? 1 8 0] 0 890[ 1?例 4 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ))(()2)(()( *???????sssjssKsG ，繪制根軌跡。 ③ 分離點(diǎn)： 021111 ????? ddd整理得： 0263 2 ??? dd 解根： ???????5 7 4 2 21dd④ 與虛軸交點(diǎn)： ? * ?? ???? dd dddK62 167。 繪制根軌跡的基本法則 （ 9） 法則 6 分離點(diǎn) d： ???? ??? mj jni i zdpd 1111說明： （無零點(diǎn)時(shí)右端為 0） （對(duì)應(yīng)重根） )2()4)(1()( * ????? sKssssD 0))(( 23 ??? dss ?? ? 0))((2)()2()4)(1()( 32* dssdsdssdsdKsssdsdds sdD ???????????? ?? ?2)2()2()2()4)(1()4)(1(**????????????ssdsdsKsdsdKssssssdsd? ? )2l n ()4)(1(ln ???? sdsdsssdsd? ? )2l n ()4l n ()1l n (ln ?????? ? sdsdsssdsd ds2141111?????? dddd試根 : ],1[ ???d ??d ??d ??d5 8 41 * ?? ?? ??? dd d dddK61 167。 繪制根軌跡的基本法則 （ 8） 例 2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。 mnka ??? ?? )12(例 1 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2()(*?? ssKsG ，試?yán)L制根軌跡 。 58 167。 繪制根軌跡的基本法則 （ 6） 法則 4 根之和： 證明： ???nii C1?nm ≥ 2時(shí)，閉環(huán)根之和保持一個(gè)常值。 定理 : 若系統(tǒng)有 2個(gè)開環(huán)極點(diǎn)， 1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，且在復(fù)平面存在根軌跡， 則復(fù)平面的根軌跡一定是以該零點(diǎn)為圓心的圓弧。 法則 2 根軌跡的分支數(shù)，對(duì)稱性和連續(xù)性： 根軌跡的分支數(shù) = 開環(huán)極點(diǎn)數(shù)；根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸。 （ 4）按式根軌跡的分離點(diǎn)計(jì)算公式 T1?46 (5)根軌跡的漸近線傾角計(jì)算，得 漸近線交點(diǎn)計(jì)算 它和根軌跡的分離點(diǎn)重合。 ????? sTssDsNsNsDTs 21??（ 2）有二個(gè)開環(huán)無限零點(diǎn)（終點(diǎn)），故二條根軌跡都將延伸到無限遠(yuǎn)。 45 由此得分離點(diǎn) 0)1()()(39。 3 1 3 1 3 2 3 4 3180p z p p p? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?13 135p? ?? 232 2 .6p? ?? 43 90p? ??13 45z? ??3 2 2 .6p? ? ? ?4 2 2 .6p? ??（ 5）復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角 經(jīng)計(jì)算得 將以上求得的 4個(gè)數(shù)據(jù)代入上式得 利用根軌跡的對(duì)稱性可知： 41 sj??23 2 2 2 0sjs s s s k s ??? ? ? ? ? ?[ ( )( ) ( )]4238 2 05 6 0kk????? ? ???? ? ? ?? ()? ?? 7k?（ 6）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：令 代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程中，得 分別令上式的實(shí)部與虛部等于零，得 解上述方程組，并舍去無意義值，得 ； 4 2 3( 8 2 ) ( 5 6 ) 0k j k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?()42 j? ? 0 1p2p 1z2? 1?3? ?2 2 .6??300 ?60? 1j?? s[]43 利用 MATLAB繪制根軌跡 命令 1： 零、極點(diǎn)模型 zpk,傳遞函數(shù) tf 例： )2(4)(2*???sssKsGk)2(1)(2*?? ssKsG k命令 2： 繪制根軌跡 rlocus rlocus(Gk) 224)(3*????sssKsGk Gk=tf([1, 4], [1, 0, 2, 2]) Gk=zpk([], [0, 0, 2], 1) Gk=zpk([4], [0, 0, 2], 1) 44 它的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （ 1） 有 2個(gè)開環(huán)極點(diǎn) （ 起點(diǎn) ） ， 。 故有一條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)； 故有三條根軌跡分支終止于無窮遠(yuǎn)處。 （ 2）因?yàn)? ，因此有 4條 根軌跡分支。（ 2） p1點(diǎn)的出射角為 ?????????????????13 5)2()1()12()()12( 21111jjkppzpkp???根軌跡的復(fù)平面部分是以零點(diǎn)到分離點(diǎn)距離為半徑的圓周的一部分 24 法則 7：根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 即有純虛根 ，此時(shí) K*使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài) ?js?兩種計(jì)算方法： ?勞斯穩(wěn)定判據(jù)計(jì)算臨界增益 ?采用代入法計(jì)算 25 【 例 】 已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)， 試確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)及相交時(shí)的 K* )2)(1()(*??? sssKsGK解：閉環(huán)特征方程為 0)2)(1( * ???? Ksss023 *23 ???? KsssGk(s) 26 ***0123036321KKKssss?計(jì)算勞斯表 6036 **???? KK用 s2行構(gòu)造輔助方程 0203 2*2 ????? sKs22,1 js ??例 4 . 2 . 4R e a l A x i sImaginary Axis3 2 1 0 121012p 1 = 0p 2 = 1p 3 = 2K * = 6 , s = 1 . 4 1 4 j023 *23 ???? Ksss27 所以，與虛軸的交點(diǎn)為 ，臨界增益為 6 j2?例 4 . 2 . 4R e a l A x isImaginary Axis3 2 1 0 121012p 1 = 0p 2 = 1p 3 = 2K * = 6 , s = 1 . 4 1 4 j或者將 直接代入特征方程，得 ?js ?023 *23 ????? Kjj ???620302**23?????????????KK????28 法則 8：閉環(huán)極點(diǎn)的和 2??mn當(dāng) 時(shí) ，開環(huán)極點(diǎn)之和等于閉環(huán)極點(diǎn)之和，即 ?????niinii ps11由于開環(huán)極點(diǎn)之和為常數(shù)，所以當(dāng)某些閉環(huán)極點(diǎn)在 s平面上左移時(shí)，另外某些極點(diǎn)必然右移 29 ? ?? ? ? ????????? ? ?????????????????????????????????????nlnllnlnninimjmljmjmininniimjjniimjjniisssszszsKpspssszsKpszsKpssHsG111 1 11*111*11*1)()()]()([)()()()()(0)()(0)()(1????? ???? ?ninl lisp1 1證明：當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 2?? mn30 根軌跡繪制規(guī)則總結(jié) 序 內(nèi)容 規(guī) 則 1 分支數(shù)對(duì)稱性 等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)（ n?m ） 對(duì)稱于實(shí)軸 2 起點(diǎn) 終點(diǎn) 起始于開環(huán)的極點(diǎn)，終止于開環(huán)傳的零點(diǎn)（包括無限零點(diǎn)） 3 實(shí)軸上分布 實(shí)軸上的根軌跡在實(shí)軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)之和必為奇數(shù) 4 漸近線 相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)： 坐標(biāo)為： 傾角為： mnzpnimj ji?? ???? ? ?1 1?? mnk??? ???)12(31 序 內(nèi)容 規(guī) 則 5 分離（會(huì)合）點(diǎn) 實(shí)軸上的分離（會(huì)合）點(diǎn) 6 起始角 終止角 復(fù)極點(diǎn)處的出射角： 復(fù)零點(diǎn)處的入射角： 7 虛軸交點(diǎn) （ 1）由勞斯陣列求得 （ 2）閉環(huán)特征方程 8 閉環(huán)極點(diǎn)之和 當(dāng)