【正文】 0 . 5 1 . 5 )K s s j s jG s H s s s s j s j? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?例 繪制如下開環(huán)傳函的閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡 11:41 解： MATLAB命令如下 ： num=conv([1 ],conv([1,2+j],[1 2j])) den=conv([1 0],conv([1 ],conv([1 +*j],[1 *j]))) rlocus(num,den) 5 4 . 5 4 3 . 5 3 2 . 5 2 1 . 5 1 0 . 5 03210123 S y s t e m : s y s G a i n : 8 . 4 5 P o l e : 2 . 6 5 + 1 . 6 5 i D a m p i n g : 0 . 8 4 9 O v e r s h o o t ( % ) : 0 . 6 4 2 F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 3 . 1 2 R o o t L o c u sR e a l A x i sImaginary Axis* ( 1 . 5 ) ( 2 ) ( 2 )( ) ( )( 2 . 5 ) ( 0 . 5 1 . 5 ) ( 0 . 5 1 . 5 )K s s j s jG s H ss s s j s j? ? ? ? ??? ? ? ? ?11:41 21dn? ? ???n?n? ???1s2s021 , 2 1nns ? ? ? ?? ? ??ωn是閉環(huán)極點到坐標原點之間的距離； ωn與負實軸夾角的余弦等于阻尼比 ζ。 解 ⑴根軌跡起始于開環(huán)極點 p1=0、 p2= p3=2+4j、 p4=24j；終止于 4個無限零點（沒有有限零點 )。 *2( ) ( ) ( 4 ) ( 4 2 0 )KG s H ss s s s? ? ? ? ⑵ 共有 4個根軌跡分支，連續(xù)且對稱于實軸。 *2( ) ( ) ( 4 ) ( 4 2 0 )KG s H ss s s s? ? ? ?解 ⑴根軌跡起始于開環(huán)極點 p1=0、 p2= p3=2+4j、 p4=24j；終止于 4個無限零點（沒有有限零點 )。 ? 60 176。 ? 60 176。 合理的交點應為 。 ? 60 176。 1 1 1 012d d d? ? ???120 . 4 2 1 . 5 8dd? ? ? ?(5)分離點： 解方程： (6)無復數(shù)開環(huán)極點和零點 ， 不存在起始角和終止角 。 ? 60 176。 11:41 系統(tǒng)根軌跡圖 ? ? j ? ? 0 1 ? * K P ? ? 0 3 ? P ? ? 0 2 ? P 1 2 0 [s] * K * K 11:41 當 k=0時 103 21mn zp jia ??????? ?????????? mn 1k2a????? 603a????? 180a?????? 6035a⑷ 漸近線：求出根軌跡三條漸近線的交點位置和它們與實軸正方向的交角 。 三條根軌跡連續(xù)且對稱于實軸 。 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試繪制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。 ⑴ 根軌跡的起點 （ 開環(huán)極點 pi)用符號 “ ”標示；根軌跡的終點 (開環(huán)零點 zj)用符號 “ o”標示 。 ⑶ 要標出一些特殊點的 K*值 ， 如起點 (K*→ 0)， 終點(K*→∞ )；根軌跡在實軸上的分離點 d(K*=Kd*)；與虛軸的交點 (K*=Kr*)。 3 實軸上的根軌跡： 實軸上某點右側(cè)的開環(huán)零 、 極點的個數(shù)之和為奇數(shù) ， 則該點在實軸的根軌跡上； 11:41 4 漸近線 11nmijijapznm? ???????? ?1mn,0 , 1 , 2 ,kmn1k2a ?????? ??????? ???n1i im1j j P1Z1dd5 分離點 11:41 6 起始角和終止角 7 與虛軸的交點 將 代入閉環(huán)特征方程 ， 令方程兩邊實部和虛部分別相等 ， 求出 。 ?在根軌跡圖上表現(xiàn)為一些根軌跡分支向左延伸 ， 另外一些分支必向右延伸 。 11nniiiisp?????111( ) ( )n nnniiiis s s s s ???? ? ? ???nm*1ij1i 1 j 1( s ) K ( s ) ( )nnniip z s p s ????? ? ? ? ? ????證明： nm≥2 時，將開環(huán)傳函表示的特征式展開后得： 將閉環(huán)極點表示的特征式展開后得： 兩式相等 11:41 ?當一些根隨 K*的增加而增加時 ， 必有另一些根隨 K*的增加而減小 。 c?*cK令 s=jω 并代入特征方程得 *G ( s ) H ( s ) ( s 1 ) ( s 2 ) ( s 3 )K? ? ? ?3 2 *s 6 s 1 1s 6 0K? ? ? ? ?3 2 *j ω 6 ω j 1 1 ω 60K? ? ? ? ? ?其虛部和實部方程分別為 3*211 ω ω 066 ω 0K? ??? ? ? ??解 系統(tǒng)特征方程是 c*ω 1160cK? ???????解方程組得： 11:41 當系統(tǒng)的階次較高時 ， 解特征方程將會遇到困難 ， 此時可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點 。 對如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù) 、 使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義 。 [s] ? ? j 1 z 1 p 2 p 0 1p?11:41 解 對于根軌跡上無限靠近 p1的點 A，由相角條件可得 1 2 3 1( A z ) ( A p ) ( A p ) ( A p ) ( 2 1 )k ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1p 1 1 1 2 1 3θ ( 2 1 ) ( p z ) ( p p ) ( p p )k ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由于 A點無限靠近 p1點 [s] ? ? j 1 z 1 p 2 p 3 p ) ( 3 1 p p ? ? ) ( 2 1 p p ? ? ) ( 1 1 z p ? ? 0 1 p ? A 1p1 1 111( A ) θ( A ) ( )( A ) ( )( A ) ( )12233pz p zp p pp p p? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?角度替換后得： 11:41 規(guī)律七 根軌跡與虛軸的交點 ? ? ? ?1 + G j H j = 0??由此可得虛部方程和實部方程為 根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根 （ 實部為零 ） 。 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中 p1和 p2為一對共軛復數(shù)極點 ， 各零級點在 s平面上的分布如圖所示 。 11( 2 1 ) ( )j j i j imnz z z p zjjjik? ? ? ?