根軌跡的基本規(guī)律及繪制-全文預(yù)覽
【正文】 *j]))) rlocus(num,den) 5 4 . 5 4 3 . 5 3 2 . 5 2 1 . 5 1 0 . 5 03210123 S y s t e m : s y s G a i n : 8 . 4 5 P o l e : 2 . 6 5 + 1 . 6 5 i D a m p i n g : 0 . 8 4 9 O v e r s h o o t ( % ) : 0 . 6 4 2 F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 3 . 1 2 R o o t L o c u sR e a l A x i sImaginary Axis* ( 1 . 5 ) ( 2 ) ( 2 )( ) ( )( 2 . 5 ) ( 0 . 5 1 . 5 ) ( 0 . 5 1 . 5 )K s s j s jG s H ss s s j s j? ? ? ? ??? ? ? ? ?11:41 21dn? ? ???n?n? ???1s2s021 , 2 1nns ? ? ? ?? ? ??ωn是閉環(huán)極點到坐標(biāo)原點之間的距離； ωn與負(fù)實軸夾角的余弦等于阻尼比 ζ。 *2( ) ( ) ( 4 ) ( 4 2 0 )KG s H ss s s s? ? ? ? ⑵ 共有 4個根軌跡分支，連續(xù)且對稱于實軸。 ? 60 176。 合理的交點應(yīng)為 。 1 1 1 012d d d? ? ???120 . 4 2 1 . 5 8dd? ? ? ?(5)分離點： 解方程： (6)無復(fù)數(shù)開環(huán)極點和零點 ， 不存在起始角和終止角 。 11:41 系統(tǒng)根軌跡圖 ? ? j ? ? 0 1 ? * K P ? ? 0 3 ? P ? ? 0 2 ? P 1 2 0 [s] * K * K 11:41 當(dāng) k=0時 103 21mn zp jia ??????? ?????????? mn 1k2a????? 603a????? 180a?????? 6035a⑷ 漸近線：求出根軌跡三條漸近線的交點位置和它們與實軸正方向的交角 。 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)完整的根軌跡圖。 ⑴ 根軌跡的起點 （ 開環(huán)極點 pi)用符號 “ ”標(biāo)示；根軌跡的終點 (開環(huán)零點 zj)用符號 “ o”標(biāo)示 。 3 實軸上的根軌跡： 實軸上某點右側(cè)的開環(huán)零 、 極點的個數(shù)之和為奇數(shù) ， 則該點在實軸的根軌跡上； 11:41 4 漸近線 11nmijijapznm? ???????? ?1mn,0 , 1 , 2 ,kmn1k2a ?????? ??????? ???n1i im1j j P1Z1dd5 分離點 11:41 6 起始角和終止角 7 與虛軸的交點 將 代入閉環(huán)特征方程 ， 令方程兩邊實部和虛部分別相等 ， 求出 。 11nniiiisp?????111( ) ( )n nnniiiis s s s s ???? ? ? ???nm*1ij1i 1 j 1( s ) K ( s ) ( )nnniip z s p s ????? ? ? ? ? ????證明： nm≥2 時，將開環(huán)傳函表示的特征式展開后得： 將閉環(huán)極點表示的特征式展開后得： 兩式相等 11:41 ?當(dāng)一些根隨 K*的增加而增加時 ， 必有另一些根隨 K*的增加而減小 。 對如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù) 、 使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義 。 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中 p1和 p2為一對共軛復(fù)數(shù)極點 ， 各零級點在 s平面上的分布如圖所示 。11:41 ⑴ 起始角 θ pi 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線方向與實軸正方向的夾角 。 d1= ， 所以是根軌跡在實軸上的分離點 。分離點的確定需代入特征方程中驗算 。 11:41 實軸上的分離點 復(fù)平面上的分離點 ? ? j 4 3 2 1 0 分離點 ? ? j 4 p 3 p 1 p 2 p A B 0 [s] d1 d2 C [s] 分離點，實質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實根（實軸上的分離點）或重共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點）。 180 11:41 四種情況下的漸近線 ?60?60??1800a?3??mn?j???1800a?1??mnj??? ??90?90?0a?2??mnj???45?45??1800a?4??mn? ?j?135135?11:41 規(guī)律五 根軌跡的分離點和分離角 兩條或兩條以上根軌跡分支在 s平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的分離點。 解 該系統(tǒng) n=4， m=1， nm=3；三條漸近線與實軸交點 為 r2K ( s 2 )G ( s ) H ( s )s ( s 1 ) ( s 4 )????13 241σ a ??????0)(k3 ?? 1)(k ?? 2)(k3 ?? ?它們與實軸正方向的夾角分別是 11nmijijapznm????? ???? ?a2 k 1nmk 0, 1, 2, , n m 1?????? ? ?11:41 根軌跡的漸近線 ? ? j 4 3 2 1 0 B C A a ? 176。 漸近線與實軸的交點： 漸近線與實軸正方向的夾角： 11:41 證明： ? ? ? ? 1*1()()mjjniiszG s H s Ksp???????1 1mjjbz????1 1niiap????*111111()mm mmnnnnK s b s b s bs a s a s a????? ? ? ??? ? ? ?*111111nnnnmmmmKs a s a s as b s b s b?????? ? ? ?? ? ? ?思路：研究 s值很大時 根軌跡（近似直線）的表達(dá)方式（通過列寫直線的方程）。 若實軸上 某點 右側(cè)的開環(huán)零 、 極點的個數(shù)之和為奇數(shù) ， 則 該點 在實軸的根軌跡上 。 (根軌跡描述特征根的變化規(guī)律 ) 根軌跡是連續(xù)的曲線 。 討論： 2． 當(dāng) mn時 ， 即開環(huán)零點數(shù)小于開環(huán)極點數(shù)時 ， 除有 m條根軌跡終止于開環(huán)零點 (稱為有限零點 )外 ， 還有 nm條根軌跡 終止于無窮遠(yuǎn)點 (稱為無限零點 )。 11:41 特征方程可寫為： nm *iji 1 j 1( 1 ) ( s ) K ( s ) 0pz??? ? ? ???* iiK = 0 s = p ( i = 1 , 2 , , n )?* jjK = s = z ( j = 1 , 2 , , m )? ?規(guī)律 一 根軌跡的起點和終點 nmij
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