根軌跡的基本規(guī)律及繪制-文庫吧
2025-04-14 12:12 本頁面
【正文】 nmnm nmnmabs K K es???? ?????? ? ? ?????*11( 1 )nm absKs? ?? ? ?*111( ) ( ) ()n m n mKG s H s s a b s? ? ?? ? ? ?11:41 由二項式定理 當 s值非常大 時，近似有 1 21 1 1 1 1 11 1 1 11 1 12!nma b a b a bs n m s n m n m s?? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ???? ? ? ?11 1 1 1111 nma b a bs n m s?????? ? ??? ???? ?00!! ( ) !nnn i i n i i n iniina b C a b a bi n i????? ? ? ???11 1 1 1 1 1111 nma b a b a bs s ss n m s n m?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?1111 nmabss????????? 的 化 簡11:41 *11 ( 2 1 ) ( 2 1 )[ c o s s i n ]nmab kkj K jn m n m n m???? ?? ??? ? ? ?? ? ?11 1 1 11 nma b a bsss n m?????? ? ??? ???? ?1 21*111jknmnm nmabs K es???? ??????????? ?21*11jknm nmabs K enm??? ?????sj????令11:41 *11*( 2 1 )c os( 2 1 )sinnmnmab kKn m n mkKnm??????? ????????①②令實部和虛部分別相等 ②247。① 得： ( ) t a naa? ? ? ???*11 ( 2 1 ) ( 2 1 )[ c o s s i n ]nmab kkj K jn m n m n m???? ?? ??? ? ? ?? ? ?11nmijijapznm? ???????? ?a 2 k 1 k 0 , 1 , 2 , , n m 1nm?? ?? ? ? ??點斜式 方程 11:41 ?j?0sas?a?a?11nmijijapznm? ???????? ?a2 k 1nmk 0, 1, 2, , n m 1?????? ? ?漸近線與實軸的交點： 漸近線與實軸正方向的夾角： 11:41 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。 解 該系統(tǒng) n=4， m=1， nm=3；三條漸近線與實軸交點 為 r2K ( s 2 )G ( s ) H ( s )s ( s 1 ) ( s 4 )????13 241σ a ??????0)(k3 ?? 1)(k ?? 2)(k3 ?? ?它們與實軸正方向的夾角分別是 11nmijijapznm????? ???? ?a2 k 1nmk 0, 1, 2, , n m 1?????? ? ?11:41 根軌跡的漸近線 ? ? j 4 3 2 1 0 B C A a ? 176。 60 176。 60 176。 300 a ? 176。 180 11:41 四種情況下的漸近線 ?60?60??1800a?3??mn?j???1800a?1??mnj??? ??90?90?0a?2??mnj???45?45??1800a?4??mn? ?j?135135?11:41 規(guī)律五 根軌跡的分離點和分離角 兩條或兩條以上根軌跡分支在 s平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的分離點。 常見的根軌跡分離點位于實軸上 。 實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間或兩個相鄰的開環(huán)零點之間 ， 至少有一個分離點 。 分離點也可能以共軛形式成對出現(xiàn)在復平面上 。 11:41 實軸上的分離點 復平面上的分離點 ? ? j 4 3 2 1 0 分離點 ? ? j 4 p 3 p 1 p 2 p A B 0 [s] d1 d2 C [s] 分離點，實質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實根（實軸上的分離點）或重共軛復根（復平面上的分離點）。 11:41 1111mnjijid z d p??????? 分離點的坐標 d是下列方程的解： 證明： 閉環(huán)特征方程有重根的條件為： 11( ) ( ) ( ) 0nmijijD s s p K s z???? ? ? ? ???11() ( ) ( ) 0nmijijd D s d s p K s zd s d s?????? ? ? ? ???????11( ) ( )nmjjijs p K s z???? ? ? ??? ①11( ) ( )nmijijdds p K s zd s d s???? ? ? ??? ②變換形式 ②247。① 11:41 1 111() ()( ) ( )n mj ij inmjijid dsp szds dss p s z? ???? ????? ???11l n ( )l n ( )mnjjjid s zd s pd s d s???????1 lnd x d xx d t d t?1 1l n ( ) l n ( )n mj ij id s p d s zd s d s? ??? ??? ??? ??? ? ? ??? ?11l n ( ) l n ( )nmjiijs p s z??? ? ???1111nmijijs p s z???????11:41 1111nmijijs p s z???????當開環(huán)系統(tǒng)無有限零點時，應(yīng)取 分離點方程為 。 mj1 j1 0,dz? ???11 0ni idp???? 只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點 。分離點的確定需代入特征方程中驗算 。 只有 當開環(huán)零 、 極點分布非常對稱時 ， 才會出現(xiàn)復平面上的分離點 。 說明 11:41 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函如下 ， 試求出系統(tǒng)根軌跡的分離點 。 解 本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點 ， 所以 *KG ( s ) H ( s ) ( s 1 ) ( s 2 ) ( s 3 )? ? ? ?0312111 ?????? ddd2 123 1 2 1 1 0 1 . 4 2 , 2 . 5 8d d d d? ? ? ? ? ? ? ? d2
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