根軌跡的基本規(guī)律及繪制(完整版)
【正文】 s? ? ?? ? ? ?11:41 由二項(xiàng)式定理 當(dāng) s值非常大 時(shí)，近似有 1 21 1 1 1 1 11 1 1 11 1 12!nma b a b a bs n m s n m n m s?? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ???? ? ? ?11 1 1 1111 nma b a bs n m s?????? ? ??? ???? ?00!! ( ) !nnn i i n i i n iniina b C a b a bi n i????? ? ? ???11 1 1 1 1 1111 nma b a b a bs s ss n m s n m?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?1111 nmabss????????? 的 化 簡(jiǎn)11:41 *11 ( 2 1 ) ( 2 1 )[ c o s s i n ]nmab kkj K jn m n m n m???? ?? ??? ? ? ?? ? ?11 1 1 11 nma b a bsss n m?????? ? ??? ???? ?1 21*111jknmnm nmabs K es???? ??????????? ?21*11jknm nmabs K enm??? ?????sj????令11:41 *11*( 2 1 )c os( 2 1 )sinnmnmab kKn m n mkKnm??????? ????????①②令實(shí)部和虛部分別相等 ②247。 實(shí)軸上兩個(gè)相鄰的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之間或兩個(gè)相鄰的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)之間 ， 至少有一個(gè)分離點(diǎn) 。 說(shuō)明 11:41 例 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函如下 ， 試求出系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn) 。 11( 2 1 ) ( )j j i j imnz z z p zjjjik? ? ? ????? ? ? ???1z?2z?1 z 2 z 11:41 11( 2 1 )j j imnz A p A p Ajjjik? ? ? ????? ? ? ? ??? ①所以 證明： 設(shè) A為根軌跡上離極點(diǎn) pi很近的一點(diǎn)。 c?*cK令 s=jω 并代入特征方程得 *G ( s ) H ( s ) ( s 1 ) ( s 2 ) ( s 3 )K? ? ? ?3 2 *s 6 s 1 1s 6 0K? ? ? ? ?3 2 *j ω 6 ω j 1 1 ω 60K? ? ? ? ? ?其虛部和實(shí)部方程分別為 3*211 ω ω 066 ω 0K? ??? ? ? ??解 系統(tǒng)特征方程是 c*ω 1160cK? ???????解方程組得： 11:41 當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí) ， 解特征方程將會(huì)遇到困難 ， 此時(shí)可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 。 ⑶ 要標(biāo)出一些特殊點(diǎn)的 K*值 ， 如起點(diǎn) (K*→ 0)， 終點(diǎn)(K*→∞ )；根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn) d(K*=Kd*)；與虛軸的交點(diǎn) (K*=Kr*)。 三條根軌跡連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸 。 ? 60 176。 *2( ) ( ) ( 4 ) ( 4 2 0 )KG s H ss s s s? ? ? ?解 ⑴根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p1=0、 p2= p3=2+4j、 p4=24j；終止于 4個(gè)無(wú)限零點(diǎn)（沒(méi)有有限零點(diǎn) )。 11:41 5 4 . 5 4 3 . 5 3 2 . 5 2 1 . 5 1 0 . 5 032101230 . 7 0 . 5 6 0 . 4 2 0 . 2 8 0 . 1 450 . 1 40 . 9 7 50 . 9 10 . 8 20 . 7 0 . 4 2 0 . 2 830 . 5 60 . 8 24 20 . 9 10 . 9 7 51R o o t L o c u sR e a l A x i sImaginary Axis使用 grid命令后的效果 11:41 作業(yè)： 43 410 11:41 傳函的 MATLAB定義 ?傳遞函數(shù)以多項(xiàng)式和的形式給出 num=[b0,b1,b2,…b m] den=[a0,a1,a2,…a n] g=tf(num,den) 或 g=tf([b0,b1,b2,…b m],[a0,a1,a2,…a n]) 10 1 110 1 1()mmmmnnnnb s b s b s bGsa s a s a s a????? ? ??? ? ?11:41 例 用 MATLAB指令定義函數(shù) 322()5 4 3sGss s s??? ? ? num=[1 2] den=[1 5 4 3] g=tf(num,den) 或 g=tf([1 2],[1 5 4 3]) 11:41 ?傳遞函數(shù)以典型環(huán)節(jié)形式給出 21 2 321 2 3( 1 ) ( 1 )()( 1 ) ( 1 )K t s t s t sGss T s T s T s? ? ??? ? ? num=conv(conv(K,[t1 1]),[t2 t3 1]) den=conv(conv([1 0],[T1 1]) ,[T2 T3 1]) g=tf(num,den) 或 g=tf(conv(conv(K,[t1 1]),[t2 t3 1]), conv(conv([1 0],[T1 1]) ,[T2 T3 1])) 11:41 例 用 MATLAB指令定義函數(shù) num=conv(5,[5 1]) den=conv( conv([1 0],[4 1]) ,[2 3 1]) g=tf(num,den) 或 g=tf(conv(5,[5 1]),conv(conv([1 0],[4 1]),[2 3 1])) 25 ( 5 1 )()( 4 1 ) ( 2 3 1 )sGss s s s??? ? ?11:41 ?傳遞函數(shù)分子和分母以零極點(diǎn)增益 (zpk)形式給出 * 11()()()miinjjszG s Ksp??????? z=[z1,z2…z m] p=[p1,p2…p m] k=a g=zpk(z p k) 11:41 例 用 MATLAB指令定義函數(shù) 5 ( 2)( 5 )()( 3 ) ( 6)( 8 ) ( 4)ssGss s s s s???? ? ? ? z=[2 5] p=[0 3 6 8 4] k=5 g=zpk(z,p,k) 11:41 傳遞函數(shù)的 zpk形式和多項(xiàng)式形式的相互轉(zhuǎn)換 ? zpk形式轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式形式 [num,den] = zp2tf([z],[p],k) 11:41 5 ( 2) ( 5 )( 3 ) ( 6) ( 8 ) ( 4)ssgs s s s s???? ? ?
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