根軌跡的基本規(guī)律及繪制-wenkub.com
2025-04-26 12:12 本頁(yè)面
【正文】 等 ωn線是以原點(diǎn)為圓心的一系列圓；等 ζ線是從原點(diǎn)出發(fā)的一系列射線 。 ⑶ 實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上由 0到 4的線段。 ? 60 ) 6 ( 2 ? c K j ) 6 ( 2 ? ? c K j * K * * K * K * K * K * 11:41 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖 。 解虛部方程得 * 2 33 ( 2 ) 0Kj? ? ?? ? ? ?01 ?? 23,2 ???01 ?? 1p23,2c ????? (7)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：用 s=jω 代入特征方程并令方程兩邊實(shí)部和虛部分別相等： 3 2 *3 2 0j j K? ? ?? ? ? ? ?11:41 系統(tǒng)根軌跡圖 ? ? j ? ? 0 1 ? * K P ? ? 0 3 ? P ? ? 0 2 ? P ? ? 1 2 0 1 d ? ? ? ? [s] 176。 11:41 系統(tǒng)根軌跡圖 ? ? j ? ? 0 1 ? * K P ? ? 0 3 ? P ? ? 0 2 ? P 1 2 0 1 d [s] 176。 當(dāng) k=1時(shí) 當(dāng) k=2時(shí) 11:41 系統(tǒng)根軌跡圖 ? ? j ? ? 0 1 ? * K P ? ? 0 3 ? P ? ? 0 2 ? P 1 2 0 [s] 176。 *( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )KG s H s s s s? ?? (2)該系統(tǒng)有三條根軌跡在 s平面上 。 手工繪圖時(shí)還需注意： 11:41 解 :(1)根軌跡起始于 P1=0,P2=1,P3=2三個(gè)極點(diǎn) ,終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處 。 11( 2 1 )j i j i imnz p p p pjjjik? ? ? ????? ? ? ???11( 2 1 )j i j j imnz z z p zjjjik? ? ? ????? ? ? ???sj???11:41 ⑵ 根軌跡由起點(diǎn)到終點(diǎn)是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益值 K*的增加而運(yùn)動(dòng)的 ， 要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動(dòng)的方向 。 ?當(dāng) K*變化時(shí) ， 隨 K*變化的 n個(gè)閉環(huán)特征根的和具有常數(shù)性 。 *cK *cK? ? ? ?10mI G j H j????????? ? ? ?10eR G j H j????????11:41 例 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，試求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 及相應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值 。 試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn) p1的起始角 θ p1。 11( 2 1 ) ( )i j i j imnp z p p pjjjik? ? ? ????? ? ? ???規(guī)律六 起始角與終止角 ? j ? 3 P 2 P 1 P 0 [s] 1 p ? 2 p ? ⑵ 終止角 θ zi 根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。 對(duì)比較復(fù)雜的方程 (次數(shù)大于 2)，也可用試探法求解。 只有 當(dāng)開環(huán)零 、 極點(diǎn)分布非常對(duì)稱時(shí) ， 才會(huì)出現(xiàn)復(fù)平面上的分離點(diǎn) 。 11:41 1111mnjijid z d p??????? 分離點(diǎn)的坐標(biāo) d是下列方程的解： 證明： 閉環(huán)特征方程有重根的條件為： 11( ) ( ) ( ) 0nmijijD s s p K s z???? ? ? ? ???11() ( ) ( ) 0nmijijd D s d s p K s zd s d s?????? ? ? ? ???????11( ) ( )nmjjijs p K s z???? ? ? ??? ①11( ) ( )nmijijdds p K s zd s d s???? ? ? ??? ②變換形式 ②247。 常見的根軌跡分離點(diǎn)位于實(shí)軸上 。 60 176。 11:41 111 1 1 1m m n nm m n ns b s b s b s a s a s a????? ? ? ? ? ? ? ???????????????11nns b s ???...........................111() na b s ???111() nma b s ????nms ?111() na b s ?????????????????1111nnnnmmmms a s a s as b s b s b????? ? ? ?? ? ? ?多項(xiàng)式除法 ?11:41 證明： ? ? ? ? 1*1()()mjjniiszG s H s Ksp???????1 1mjjbz????1 1niiap????*111111()mm mmnnnnK s b s b s bs a s a s a????? ? ? ??? ? ? ?*111111nnnnmmmmKs a s a s as b s b s b?????? ? ? ?? ? ? ?*111()n m n mKs a b s? ? ?? ? ? ?研究 s值很大時(shí) 根軌跡（近似直線）的表達(dá)方式（通過(guò) 列寫直線的方程 ）。 11:41 只有 s0點(diǎn)右側(cè)實(shí)軸上的開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，才滿足相角條件。 (K*是連續(xù)變化的 ) 根軌跡總是對(duì)稱于實(shí)軸 。 3． 當(dāng) mn時(shí) ， 即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí) ， 除有 n條根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn) (稱為有限極點(diǎn) )外 ， 還有 mn條根軌跡 起始于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) (稱為無(wú)限極點(diǎn) )。 根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)。 教 學(xué) 難 點(diǎn) 八個(gè)規(guī)律的證明 ， 根軌跡的手工繪制 。 講授技巧及注意事項(xiàng) 運(yùn)用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo) 、 圖形的輔助說(shuō)明進(jìn)行分析 。 根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn) ， 終止于開環(huán)零點(diǎn) 。 參數(shù)根軌跡 11:41 根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn) (K*→ 0)， 終止于開環(huán)零點(diǎn) (K*→∞) ；如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù) n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù) m， 則有 nm條根軌跡終止于 s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處 ， 如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù) m大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù) n， 則有 mn條根軌跡起始于 s平面的無(wú)窮遠(yuǎn)處 。 (實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù) → 數(shù)學(xué)模型的系數(shù)是實(shí)數(shù) → 特征根不是實(shí)數(shù)就是共軛復(fù)數(shù) ) 結(jié)論： 根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的曲線 ， 其分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù) 。 0 i 0s ip p s??0011( ) ( ) ( 2 1 ) , ( 0 , 1 , 2 , )mn jijis z s p k k???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???p1 p2 p3 p5 p4 z1 z2 s0 z4 z3 j? 0 θ 1 φ 5 φ 1 φ 4 φ 2 θ 4 θ 3 θ 2 φ 3 σ S0點(diǎn)符合 相角條件： 每一對(duì)共軛復(fù)數(shù)形式的零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量的相角之和為 2π ； 實(shí)軸上的零極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量的相角只有 0和 π 兩種情況 。 11:41 當(dāng) s值非常大 時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)可以近似為： 由特征方程 G(s)H(s
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1