根軌跡的基本規(guī)律及繪制-免費閱讀
【正文】 11:41 0 4 j??* 0K ?* 0K ? * 0K ?* 0K ?11:41 漸近線在橫軸上的公共交點為 漸近線與橫軸的夾角為 k取 0、 l、 3時，分別為 450、 1350、 2250、 3150。 ? 60 ) 6 ( 2 ? c K j ) 6 ( 2 ? ? c K j * K * * K * K * K * K * 11:41 系統根軌跡圖 ? ? j ? ? 0 1 ? * K P ? ? 0 3 ? P ? ? 0 2 ? P ? ? 1 2 0 1 d ? ? ? ? [s] 176。 ? 60 * K * K 11:41 d2= ， 舍去；實際的分離點應為 d1=。 *( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )KG s H s s s s? ??11:41 系統根軌跡圖 ? ? j ? ? 0 1 ? * K P ? ? 0 3 ? P ? ? 0 2 ? P 1 2 0 [s] * K * K 11:41 解 :(1)根軌跡起始于 P1=0,P2=1,P3=2三個極點 ,終止于無窮遠處 。 (根軌跡的自平衡性 ) 結論 11:41 二、手工繪制根軌跡圖示例 根軌跡的七條規(guī)律： 1 起點與終點：起始于開環(huán)極點 ， 終止于開環(huán)零點； 2 連續(xù)性 、 對稱性和分支數：根軌跡連續(xù)且對稱于實軸 ， 分支數等于系統特征方程的階數 。 用 s=jω 代入特征方程可得 ? ? ? ?[ 1 ( ) ( ) ] 1 0emR G j H j I G j H j? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?10mI G j H j????????? ? ? ?10eR G j H j????????11:41 解虛部方程可得角頻率 ω c， 即根軌跡與虛軸的交點的坐標值；用 ω c代入實部方程 ， 可求出系統開環(huán)根軌跡增益的臨界值 。 ( 2 1 ) ( 0 , 1 , 1 )k kll?? ?? ? ?設 l為進入分離點的根軌跡的條數，則分離角 當 l=2時，分離角為 090? 。 mj1 j1 0,dz? ???11 0ni idp???? 只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點 。 300 a ? 176。 11:41 規(guī)律四 漸近線 11nmijijapznm? ???????? ?a2 k 1nmk 0, 1, 2, , n m 1?????? ? ? 當開環(huán)極點數 n大于開環(huán)零點數 m時 ， 系統有 nm條根軌跡終止于 S平面的無窮遠處 ， 反應 nm條根軌跡變化趨向的 直線 叫做根軌跡的漸近線 ， 因此 ， 漸近線也有 nm條 ， 且它們交于實軸上的一點 (對稱性 )。 結論： 11:41 規(guī)律二 根軌跡的連續(xù)性、對稱性和分支數 根軌跡的分支數 (條數 )等于系統特征方程的次數n。 42 根軌跡的基本規(guī)律及繪制 11:41 一、根軌跡的基本規(guī)律 根軌跡的基本規(guī)律從以下 8個方面進行討論： 根軌跡的起始點與終止點； 根軌跡的漸近線； 根軌跡的連續(xù)性 、 對稱性和分支數； 實軸上的根軌跡； 根軌跡在實軸上的分離點和分離角； 根軌跡的起始角和終止角 (復數零極點 )； 根軌跡與虛軸的交點； 根之和 。 11:41 特征方程可寫為： nm *iji 1 j 1( 1 ) ( s ) K ( s ) 0pz??? ? ? ???* iiK = 0 s = p ( i = 1 , 2 , , n )?* jjK = s = z ( j = 1 , 2 , , m )? ?規(guī)律 一 根軌跡的起點和終點 nmij*i 1 j 11( 2 ) ( s ) ( s ) 0K pz??? ? ? ???根軌跡起始于開環(huán)極點。 (根軌跡描述特征根的變化規(guī)律 ) 根軌跡是連續(xù)的曲線 。 漸近線與實軸的交點： 漸近線與實軸正方向的夾角： 11:41 證明： ? ? ? ? 1*1()()mjjniiszG s H s Ksp???????1 1mjjbz????1 1niiap????*111111()mm mmnnnnK s b s b s bs a s a s a????? ? ? ??? ? ? ?*111111nnnnmmmmKs a s a s as b s b s b?????? ? ? ?? ? ? ?思路：研究 s值很大時 根軌跡（近似直線）的表達方式（通過列寫直線的方程）。 180 11:41 四種情況下的漸近線 ?60?60??1800a?3??mn?j???1800a?1??mnj??? ??90?90?0a?2??mnj???45?45??1800a?4??mn? ?j?135135?11:41 規(guī)律五 根軌跡的分離點和分離角 兩條或兩條以上根軌跡分支在 s平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的分離點。分離點的確定需代入特征方程中驗算 。11:41 ⑴ 起始角 θ pi 根軌跡離開開環(huán)復數極點處的切線方向與實軸正方向的夾角 。 對如何選擇合適的系統參數 、 使系統處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義 。 3 實軸上的根軌跡： 實軸上某點右側的開環(huán)零 、 極點的個數之和為奇數 ， 則該點在實軸的根軌跡上； 11:41 4 漸近線 11nmijijapznm? ???????? ?1mn,0 , 1 , 2 ,kmn1k2a ?????? ??????? ???n1i im1j j P1Z1dd5 分離點 11:41 6 起始角和終止角 7 與虛軸的交點 將 代入閉環(huán)特征方程 ， 令方程兩邊實部和虛部分別相等 ， 求出 。 例 已知系統的開環(huán)傳遞函數如下，試繪制該系統完整的根軌跡圖。 1 1 1 012d d d? ? ???120 . 4 2 1 . 5 8dd? ? ? ?(5)分離點： 解方程： (6)無復數開環(huán)極點和零點 ， 不存在起始角和終止角 。 ? 60 176。 (4)漸近線 : 11 4 2 4 2 4 24nmijijapzjjnm? ???? ? ? ? ?? ? ? ????a21 0 , 1 , 2 , 34k k?? ???11:41 0 2 4 j??* 0K ? * 0K ?* 0K ?* 0K ?11:41 (5)分離點和分離角 1 1 1 1 04 2 4 2 4d d d j d j? ? ? ?? ? ? ? ?經整理可得 2( 2 ) ( 4 1 0 ) 0d d d? ? ? ?求解上式可得三個分離點為 1 2 32 2 2 . 4 5 2 2 . 4 5d d j d j? ? ? ? ? ? ? ?分離角 ( 2 1 ) 0 , 1dk kl?? ??
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