根軌跡的基本規(guī)律及繪制-預(yù)覽頁
【正文】 *i 1 j 11( 2 ) ( s ) ( s ) 0K pz??? ? ? ???根軌跡起始于開環(huán)極點。11:41 第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法 第二節(jié) 根軌跡的基本規(guī)律及繪制 11:41 項 目 內(nèi) 容 教 學 目 的 掌握根軌跡的八個規(guī)律 ， 并在此基礎(chǔ)上繪制根軌跡 （ 手工和 MATLAB） 教 學 重 點 根軌跡八個規(guī)律的內(nèi)容 。 42 根軌跡的基本規(guī)律及繪制 11:41 一、根軌跡的基本規(guī)律 根軌跡的基本規(guī)律從以下 8個方面進行討論： 根軌跡的起始點與終止點； 根軌跡的漸近線； 根軌跡的連續(xù)性 、 對稱性和分支數(shù)； 實軸上的根軌跡； 根軌跡在實軸上的分離點和分離角； 根軌跡的起始角和終止角 (復數(shù)零極點 )； 根軌跡與虛軸的交點； 根之和 。 11:41 1． 當 m=n時 ， 即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)相同時 ， 根軌跡的起點與終點均為有限的值 。 結(jié)論： 11:41 規(guī)律二 根軌跡的連續(xù)性、對稱性和分支數(shù) 根軌跡的分支數(shù) (條數(shù) )等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)n。 11:41 規(guī)律三 實軸上的根軌跡 *1 2 3 41 2 3 4 5K ( s ) ( ) ( ) ( )G ( s ) H ( s )( s ) ( s ) ( s ) ( ) ( )z s z s z s zp p p s p s p? ? ? ??? ? ? ? ?設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 其中 p p p z z2為實極點和實零點 ， pp z z4為共軛復數(shù)零 、 極點 。 11:41 規(guī)律四 漸近線 11nmijijapznm? ???????? ?a2 k 1nmk 0, 1, 2, , n m 1?????? ? ? 當開環(huán)極點數(shù) n大于開環(huán)零點數(shù) m時 ， 系統(tǒng)有 nm條根軌跡終止于 S平面的無窮遠處 ， 反應(yīng) nm條根軌跡變化趨向的 直線 叫做根軌跡的漸近線 ， 因此 ， 漸近線也有 nm條 ， 且它們交于實軸上的一點 (對稱性 )。① 得： ( ) t a naa? ? ? ???*11 ( 2 1 ) ( 2 1 )[ c o s s i n ]nmab kkj K jn m n m n m???? ?? ??? ? ? ?? ? ?11nmijijapznm? ???????? ?a 2 k 1 k 0 , 1 , 2 , , n m 1nm?? ?? ? ? ??點斜式 方程 11:41 ?j?0sas?a?a?11nmijijapznm? ???????? ?a2 k 1nmk 0, 1, 2, , n m 1?????? ? ?漸近線與實軸的交點： 漸近線與實軸正方向的夾角： 11:41 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。 300 a ? 176。 分離點也可能以共軛形式成對出現(xiàn)在復平面上 。 mj1 j1 0,dz? ???11 0ni idp???? 只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點 。 解 本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點 ， 所以 *KG ( s ) H ( s ) ( s 1 ) ( s 2 ) ( s 3 )? ? ? ?0312111 ?????? ddd2 123 1 2 1 1 0 1 . 4 2 , 2 . 5 8d d d d? ? ? ? ? ? ? ? d2= ， 舍去 。 ( 2 1 ) ( 0 , 1 , 1 )k kll?? ?? ? ?設(shè) l為進入分離點的根軌跡的條數(shù)，則分離角 當 l=2時，分離角為 090? 。 A離 pi很近 A點滿足相角條件 j j i j j i i iz A z p p A p p p A p? ? ? ? ? ?? ? ? ? ②11( 2 1 ) ( )i j i j imnp z p p pjjjik? ? ? ????? ? ? ???11( 2 1 )j i j i imnz p p p pjjjik? ? ? ????? ? ? ???11( 2 1 ) ( )j j i j imnz z z p zjjjik? ? ? ????? ? ? ???同理得： ② 代入①： 11:41 *112K ( s z )G ( s) H ( s)s( s p ) ( s p )????進一步具體分析起始角與終止角的表示 。 用 s=jω 代入特征方程可得 ? ? ? ?[ 1 ( ) ( ) ] 1 0emR G j H j I G j H j? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?10mI G j H j????????? ? ? ?10eR G j H j????????11:41 解虛部方程可得角頻率 ω c， 即根軌跡與虛軸的交點的坐標值；用 ω c代入實部方程 ， 可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值 。 11:41 規(guī)律八 根之和 當 nm≥ 2時 ， 閉環(huán)傳函特征根之和等于開環(huán)傳函所有極點之和 (常數(shù) )。 (根軌跡的自平衡性 ) 結(jié)論 11:41 二、手工繪制根軌跡圖示例 根軌跡的七條規(guī)律： 1 起點與終點：起始于開環(huán)極點 ， 終止于開環(huán)零點； 2 連續(xù)性 、 對稱性和分支數(shù)：根軌跡連續(xù)且對稱于實軸 ， 分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù) 。 還有一些要求標出的閉環(huán)極點 s及其對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益 K*， 也應(yīng)在根軌跡圖上標出 ， 以便于進行系統(tǒng)的分析與綜合 。 *( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )KG s H s s s s? ??11:41 系統(tǒng)根軌跡圖 ? ? j ? ? 0 1 ? * K P ? ? 0 3 ? P ? ? 0 2 ? P 1 2 0 [s] * K * K 11:41 解 :(1)根軌跡起始于 P1=0,P2=1,P3=2三個極點 ,終止于無窮遠處 。 (3)實軸上的根軌跡為實軸上 0到 1的線段和由2至實軸上負無窮遠線段 。 ? 60 * K * K 11:41 d2= ， 舍去；實際的分離點應(yīng)為 d1=。 ? 60 * K * K 11:41 其中 是開環(huán)極點 對應(yīng)的坐標值 ， 它是根軌跡的起點之一 。 ? 60 ) 6 ( 2 ? c K j ) 6 ( 2 ? ? c K j * K * * K * K * K * K * 11:41 系統(tǒng)根軌跡圖 ? ? j ? ? 0 1 ? * K P ? ? 0 3 ? P ? ? 0 2 ? P ? ? 1 2 0 1 d ? ? ? ? [s] 176。 11:41 0 4 j??* 0K ?* 0K ? * 0K ?* 0K ?11:41 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下試繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖 。 11:41 0 4 j??* 0K ?* 0K ? * 0K ?* 0K ?11:41 漸近線在橫軸上的公共交點為 漸近線與橫軸的夾角為 k取 0、 l、 3時，分別為 450、 1350、 2250、 3150
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