根軌跡的基本規(guī)律及繪制(編輯修改稿)
2025-05-26 12:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 = ， 舍去 。 d1= ， 所以是根軌跡在實軸上的分離點 。 對比較復(fù)雜的方程 (次數(shù)大于 2)，也可用試探法求解。 11:41 分離角：根軌跡進入分離點的 切線方向 和離開分離點的 切線方向 之間的夾角。 ( 2 1 ) ( 0 , 1 , 1 )k kll?? ?? ? ?設(shè) l為進入分離點的根軌跡的條數(shù)，則分離角 當(dāng) l=2時，分離角為 090? 。11:41 ⑴ 起始角 θ pi 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線方向與實軸正方向的夾角 。 11( 2 1 ) ( )i j i j imnp z p p pjjjik? ? ? ????? ? ? ???規(guī)律六 起始角與終止角 ? j ? 3 P 2 P 1 P 0 [s] 1 p ? 2 p ? ⑵ 終止角 θ zi 根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線方向與實軸正方向的夾角。 11( 2 1 ) ( )j j i j imnz z z p zjjjik? ? ? ????? ? ? ???1z?2z?1 z 2 z 11:41 11( 2 1 )j j imnz A p A p Ajjjik? ? ? ????? ? ? ? ??? ①所以 證明： 設(shè) A為根軌跡上離極點 pi很近的一點。 A離 pi很近 A點滿足相角條件 j j i j j i i iz A z p p A p p p A p? ? ? ? ? ?? ? ? ? ②11( 2 1 ) ( )i j i j imnp z p p pjjjik? ? ? ????? ? ? ???11( 2 1 )j i j i imnz p p p pjjjik? ? ? ????? ? ? ???11( 2 1 ) ( )j j i j imnz z z p zjjjik? ? ? ????? ? ? ???同理得： ② 代入①： 11:41 *112K ( s z )G ( s) H ( s)s( s p ) ( s p )????進一步具體分析起始角與終止角的表示 。 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中 p1和 p2為一對共軛復(fù)數(shù)極點 ， 各零級點在 s平面上的分布如圖所示 。 試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點 p1的起始角 θ p1。 [s] ? ? j 1 z 1 p 2 p 0 1p?11:41 解 對于根軌跡上無限靠近 p1的點 A，由相角條件可得 1 2 3 1( A z ) ( A p ) ( A p ) ( A p ) ( 2 1 )k ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1p 1 1 1 2 1 3θ ( 2 1 ) ( p z ) ( p p ) ( p p )k ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由于 A點無限靠近 p1點 [s] ? ? j 1 z 1 p 2 p 3 p ) ( 3 1 p p ? ? ) ( 2 1 p p ? ? ) ( 1 1 z p ? ? 0 1 p ? A 1p1 1 111( A ) θ( A ) ( )( A ) ( )( A ) ( )12233pz p zp p pp p p? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?角度替換后得： 11:41 規(guī)律七 根軌跡與虛軸的交點 ? ? ? ?1 + G j H j = 0??由此可得虛部方程和實部方程為 根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根 （ 實部為零 ） 。 用 s=jω 代入特征方程可得 ? ? ? ?[ 1 ( ) ( ) ] 1 0emR G j H j I G j H j? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?10mI G j H j????????? ? ? ?10eR G j H j????????11:41 解虛部方程可得角頻率 ω c， 即根軌跡與虛軸的交點的坐標(biāo)值；用 ω c代入實部方程 ， 可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值 。 對如何選擇合適的系統(tǒng)參數(shù) 、 使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)有重要意義 。 *cK *cK? ? ? ?10mI G j H j????????? ? ? ?10eR G j H j????????11:41 例 已知系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，試求出根軌跡與虛軸的交點 及相應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值 。 c?*cK令 s=jω 并代入特征方程得 *G ( s ) H ( s ) ( s 1 ) ( s 2 ) ( s 3 )K? ? ? ?3 2 *s 6 s 1 1s 6 0K? ? ? ? ?3 2 *j ω 6 ω j 1 1 ω 60K? ? ? ? ? ?其虛部和實部方程分別為 3*211 ω ω 066 ω 0K? ??? ? ? ??解 系統(tǒng)特征方程是 c*ω 1160cK? ???????解方程組得： 11:41 當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時 ， 解特征方程將會遇到困難 ， 此時可用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值和根軌跡與虛軸的交點 。 11:41 規(guī)律八 根之和 當(dāng) nm≥ 2時 ， 閉環(huán)傳函特征根之和等于開環(huán)傳函所有極點之和 (常數(shù) )。 11nniiiisp?????111( ) ( )n nnniiiis s s s s ???? ? ? ???nm*1ij1i 1 j 1( s ) K ( s ) ( )nnniip z s p s ????? ? ? ? ? ????證明： nm≥2 時，將開環(huán)傳函表示的特征式展開后得： 將閉環(huán)極點表示的特征式展開后得： 兩式相等 11:41 ?當(dāng)一些根隨 K*的增加而增加時 ， 必有另一些根隨 K*的增加而減小 。 ?當(dāng) K*變化時 ， 隨 K*變化的 n個閉環(huán)特征根的和具有常數(shù)性 。 ?在根軌跡圖上表現(xiàn)為一些根軌跡分支向左延伸 ， 另外一些分支必向右延伸 。 (根軌跡的自平衡性 ) 結(jié)論 11:41 二、手工繪制根軌跡圖示例 根軌跡的七條規(guī)律： 1 起點與終點：起始于開環(huán)極點 ， 終止于開環(huán)零點； 2 連續(xù)性 、 對稱性和分支數(shù)：根軌跡連續(xù)且對稱于實軸 ， 分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù) 。 3 實軸上的根軌跡： 實軸上某點右側(cè)的開環(huán)零 、 極點的個數(shù)之和為奇數(shù) ， 則該點在實軸的根軌跡上； 11:41 4 漸近線 11nmijijapznm? ???????? ?1mn,0 , 1 , 2 ,kmn1k2a ?????? ??????? ???n1i im1j j P1Z1dd5 分離點 11:41 6 起始角和終止角 7 與虛軸的交點 將 代入閉環(huán)特征方程 ， 令方程兩邊實部和虛部分別相等 ， 求出 。 11( 2 1 )j i j i imnz p p p pjjjik? ? ? ????? ? ? ???11( 2 1 )j i
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