【正文】 ?轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的形式 例 將 z=[2 5] p=[3 6 8 4] k=5 [num,den] = zp2tf(z,p,k) 11:41 ?多項(xiàng)式形式轉(zhuǎn)換為 zpk形式 zpk=tf2zp(num,den) 3225 4 3sgs s s??? ? ?轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式的形式 例 將 [z p k]=tf2zp([1 2],[1 5 4 3]) 。 *2( ) ( ) ( 4 ) ( 4 2 0 )KG s H ss s s s? ? ? ? ⑵ 共有 4個根軌跡分支，連續(xù)且對稱于實(shí)軸。 合理的交點(diǎn)應(yīng)為 。 11:41 系統(tǒng)根軌跡圖 ? ? j ? ? 0 1 ? * K P ? ? 0 3 ? P ? ? 0 2 ? P 1 2 0 [s] * K * K 11:41 當(dāng) k=0時 103 21mn zp jia ??????? ?????????? mn 1k2a????? 603a????? 180a?????? 6035a⑷ 漸近線：求出根軌跡三條漸近線的交點(diǎn)位置和它們與實(shí)軸正方向的交角 。 ⑴ 根軌跡的起點(diǎn) （ 開環(huán)極點(diǎn) pi)用符號 “ ”標(biāo)示；根軌跡的終點(diǎn) (開環(huán)零點(diǎn) zj)用符號 “ o”標(biāo)示 。 11nniiiisp?????111( ) ( )n nnniiiis s s s s ???? ? ? ???nm*1ij1i 1 j 1( s ) K ( s ) ( )nnniip z s p s ????? ? ? ? ? ????證明： nm≥2 時，將開環(huán)傳函表示的特征式展開后得： 將閉環(huán)極點(diǎn)表示的特征式展開后得： 兩式相等 11:41 ?當(dāng)一些根隨 K*的增加而增加時 ， 必有另一些根隨 K*的增加而減小 。 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其中 p1和 p2為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) ， 各零級點(diǎn)在 s平面上的分布如圖所示 。 d1= ， 所以是根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn) 。 11:41 實(shí)軸上的分離點(diǎn) 復(fù)平面上的分離點(diǎn) ? ? j 4 3 2 1 0 分離點(diǎn) ? ? j 4 p 3 p 1 p 2 p A B 0 [s] d1 d2 C [s] 分離點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上就是系統(tǒng)特征方程的重實(shí)根（實(shí)軸上的分離點(diǎn)）或重共軛復(fù)根（復(fù)平面上的分離點(diǎn)）。 解 該系統(tǒng) n=4， m=1， nm=3；三條漸近線與實(shí)軸交點(diǎn) 為 r2K ( s 2 )G ( s ) H ( s )s ( s 1 ) ( s 4 )????13 241σ a ??????0)(k3 ?? 1)(k ?? 2)(k3 ?? ?它們與實(shí)軸正方向的夾角分別是 11nmijijapznm????? ???? ?a2 k 1nmk 0, 1, 2, , n m 1?????? ? ?11:41 根軌跡的漸近線 ? ? j 4 3 2 1 0 B C A a ? 176。 若實(shí)軸上 某點(diǎn) 右側(cè)的開環(huán)零 、 極點(diǎn)的個數(shù)之和為奇數(shù) ， 則 該點(diǎn) 在實(shí)軸的根軌跡上 。 討論： 2． 當(dāng) mn時 ， 即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時 ， 除有 m條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn) (稱為有限零點(diǎn) )外 ， 還有 nm條根軌跡 終止于無窮遠(yuǎn)點(diǎn) (稱為無限零點(diǎn) )。11:41 第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法 第二節(jié) 根軌跡的基本規(guī)律及繪制 11:41 項(xiàng) 目 內(nèi) 容 教 學(xué) 目 的 掌握根軌跡的八個規(guī)律 ， 并在此基礎(chǔ)上繪制根軌跡 （ 手工和 MATLAB） 教 學(xué) 重 點(diǎn) 根軌跡八個規(guī)律的內(nèi)容 。 11:41 1． 當(dāng) m=n時 ， 即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時 ， 根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均為有限的值 。 11:41 規(guī)律三 實(shí)軸上的根軌跡 *1 2 3 41 2 3 4 5K ( s ) ( ) ( ) ( )G ( s ) H ( s )( s ) ( s ) ( s ) ( ) ( )z s z s z s zp p p s p s p? ? ? ??? ? ? ? ?設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 其中 p p p z z2為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn) ， pp z z4為共軛復(fù)數(shù)零 、 極點(diǎn) 。① 得： ( ) t a naa? ? ? ???*11 ( 2 1 ) ( 2 1 )[ c o s s i n ]nmab kkj K jn m n m n m???? ?? ??? ? ? ?? ? ?11nmijijapznm? ???????? ?a 2 k 1 k 0 , 1 , 2 , , n m 1nm?? ?? ? ? ??點(diǎn)斜式 方程 11:41 ?j?0sas?a?a?11nmijijapznm? ???????? ?a2 k 1nmk 0, 1, 2, , n m 1?????? ? ?漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： 漸近線與實(shí)軸正方向的夾角： 11:41 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。 分離點(diǎn)也可能以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面上 。 解 本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點(diǎn) ， 所以 *KG ( s ) H ( s ) ( s 1 ) ( s 2 ) ( s 3 )? ? ? ?0312111 ?????? ddd2 123 1 2 1 1 0 1 . 4 2 , 2 . 5 8d d d d? ? ? ? ? ? ? ? d2= ， 舍去 。 A離 pi很近 A點(diǎn)滿足相角條件 j j i j j i i iz A z p p A p p p A p? ? ? ? ? ?? ? ? ? ②11( 2 1 ) ( )i j i j imnp z p p pjjjik? ? ? ????? ? ? ???11( 2 1 )j i j i imnz p p p pjjjik? ? ? ????? ? ? ???11( 2 1 ) ( )j j i j imnz z z p zjjjik? ? ? ????? ? ? ???同理得： ② 代入①： 11:41 *112K ( s z )G ( s) H ( s)s( s p ) ( s p )????進(jìn)一步具體分析起始角與終止角的表示 。 11:41 規(guī)律八 根之和 當(dāng) nm≥ 2時 ， 閉環(huán)傳函特征根之和等于開環(huán)傳函所有極點(diǎn)之和 (常數(shù) )。 還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點(diǎn) s及其對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益 K*， 也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出 ， 以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合 。 (3)實(shí)軸上的根軌跡為實(shí)軸上 0到 1的線段和由2至實(shí)軸上負(fù)無窮遠(yuǎn)線段 。 ? 60 * K * K 11:41 其中 是開環(huán)極點(diǎn) 對應(yīng)的坐標(biāo)值 ， 它是根軌跡的起點(diǎn)之一 。 11:41 0 4 j??* 0K ?* 0K ? * 0K ?* 0K ?11:41 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖