【正文】 c os12 xf x A K x A K xx??當 ，即 為實數(shù)時， 其解為 20xK ? xK( ) sin c os12 xf x A K x A K xx??當 ，即 為實數(shù)時， 其解為 20xK ? ,K ia ax x x?() 12f x C x C??當 ， 其解為 20xK ?根據(jù) 取值的不同組合情況，其解 ,K K Kx y z f g h? ??＝的形式也有不同的組合，需要根據(jù)具體邊界條件來確定解的組合形式和待定系數(shù)。顯然，三個分離常數(shù)不可能全為實數(shù)，也不能全為虛數(shù)。在直角坐標系中，位函數(shù) φ 的拉普拉斯方程為 2222 02 2 2x y z???? ???? ? ? ? ?? ? ?令 φ為三個單變量函數(shù)的乘積，即 ( , , ) ( ) ( ) ( )x y z f x g y h z? ?代入上式，并在兩端同除以 φ，可得 22 21 1 102 2 2d f d g dhgfhd x d y d z? ? ?上式的三項中，每一項都是一個獨立變量的函數(shù)，而三項之和若要等于 0，則只有一個可能，就是每一項分別等于一個常數(shù)，而這三個常數(shù)之和為 0。例如：矩形域應(yīng)選直角坐標系；圓柱形域應(yīng)選圓柱坐標系；球形域應(yīng)選球坐標系。不同坐標系分解出來的單變量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。與完全的數(shù)學求解不同，針對具體物理問題使用該方法求解時，將要結(jié)合一些物理概念進行分析求解。 4412qqrr? ? ? ? ????利用球形邊界的分析方法：導電圓柱體上的鏡象線電荷為 : l?ll??? ??鏡象線電荷與圓柱軸線的偏心距離為 : 2adb ?這樣，用鏡象線電荷取代圓柱形導電體，就把問題簡化為了求兩條平行等值異號線電荷的電位和電場。 如圖（ page108,圖 ），若導體球不接地，導體球上的靜電荷為 0，并且球面電位不為 0，但仍保持為等位面，為了滿足導體球上靜電荷為 0的條件，還需加入另一鏡象電荷 , 使 qqq?? ???即： 0qq? ????球面電位為： 4 q a? ?????球 面4 4 412q q qp r r r? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ?導體球外各點的電位由 q, 和 共同產(chǎn)生： 39。 ? 在 M,N兩個特殊點考慮邊界： ? 在 M點： ? …… ② ? 同理在 N點： ? …… ③ ? ∴ 04412qqrr? ? ? ????2121 rrqqrqrq ?????qqadbarr ??????12qqadbarr ??????12dab2? qdaq ???aqqd? ??可求出： 可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷的位置和電量大小，則位函數(shù)表達式就確定了。又由于靠近點電荷 q的球面部分，感應(yīng)電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在 OM線段上，設(shè)在 b點 ,OM=b，則位函數(shù)表達式為 da q39。 4412qqrr? ? ? ? ????設(shè)想把導體球移開，用一個鏡象電荷代替球面上的感應(yīng)負電荷，為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導體球內(nèi)。 ? 可以用類似的方法來處理兩種磁介質(zhì)分界面兩邊的磁場計算問題。 ? 鏡像電荷周圍的介質(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一致的。 靜態(tài)場的鏡像法求解 ? 鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷來代替或等效實際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場，而得到源電荷與實際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場。 所得電位函數(shù)必須滿足原來的邊界條件。q2 si n24 2tqrE ??????根據(jù)邊界條件可得 21 2 21 2 1 2q q q q? ? ?? ? ? ??? ??????注意： 鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時將會改 變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯 方程或泊松方程。電場強度切向分量為 39。39。39。q1 441 1 1 2qqrr? ? ? ? ????即 22 4qr? ?????在介質(zhì) ε 2中，場是由 產(chǎn)生的。在介質(zhì) 2中的電場是源電荷通過介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在下半空間作用的結(jié)果 , 在上半空間用一鏡象電荷代替界面上的感應(yīng)束縛面電荷在下半空間產(chǎn)生的場，則 φ2 為： 39。q1r1?h1?2rz2? 2? φ1 是點電荷 q與介質(zhì)分界面上感應(yīng)束縛電荷共同產(chǎn)生的電位函數(shù)。 設(shè)在介質(zhì) ε1 和 ε2 內(nèi)的電位函數(shù)分別為 φ1 和φ2 。 當天線架設(shè)得比較低時，通常把地面假設(shè)為無限大的理想導電平面，地面的影響將歸結(jié)為鏡象天線所起的作用 。 推廣 兩相交半無限大導體平面，在角區(qū)內(nèi)的點電荷、線電荷的場也可用鏡象法求解 。那么在 z0空間里任一點 p(x,y,z)的電位就應(yīng)等于源電荷 q與鏡象電荷 q所產(chǎn)生的電位之和。 點電荷 q與導體平面之間的電位必須滿足下列條件： 在 z=0處， =0，因為無限大的導體平面電位為零； 在 z0的空間里，除了點電荷所在的點外，處處應(yīng)該滿足： ?2 0???用唯一性定理可以驗證，這個假設(shè)的電位函數(shù)就是我們所要求的合成場 。 點電荷與無限大的平面導體的合成場計算 qq?1rph?2rz 如圖取直角坐標系，使 z=0的平面與導體平面重合，并將 +q電荷放在 z軸上。那么，根據(jù)唯一性定理，所假設(shè)的位函數(shù)就是該區(qū)域上的唯一的電位函數(shù)。 一般可以考慮采用標量位函數(shù)來計算這個由電荷所產(chǎn)生的合成電場，這樣可以避免復雜的矢量運算。 1? 2? 2 1 0???2 2 0???1? 2? 12ab? ? ???2 12( ) 0ab