【正文】 ??? ? ? 唯一性定理 唯一性定理可敘述為： 對于任一靜態(tài)場，在邊界條件給定后，空間各處的場也就唯一地確定了，或者說這時拉普拉斯方程的解是唯一的。 DEs n n n?? ? ? ?? ? ? ? ?第二類邊界條件 只給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值 第三類邊界條件 給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合 ( ) ( )12f s f sn?? ??? ?這是混合邊界條件，稱為第三類邊界條件。 邊界條件的分類 給定位函數(shù)的邊界條件通常有三類： 第一類邊界條件 直接給定整個場域邊界上的位函數(shù)值 ()fs? ?為邊界點 S的位函數(shù)，這類問題稱為第一類邊界條件。 有了對偶原理后，我們就能把某種場的分析計算結(jié)果，直接推廣到其對偶的場中，這也是求解電磁場的一種方法。 對偶原理 如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并且有相似的邊界條件或?qū)?yīng)的邊界條件，那么它們的數(shù)學(xué)解的形式也將是相同的，這就是對偶原理。這兩個方程是二階偏微分方程，針對具體的電磁問題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。 H m?? ??即令 以上所導(dǎo)出的三個靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。 A恒定磁場是有旋場，即 ,但它卻是無散場， 即 引入一個矢量磁位 后，由于 ，可得 BJ?? ? ?0B? ? ?BA??＝2 0A??此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。 ?拉普拉斯算符 在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達形式： 2?在直角坐標(biāo)系中 22222 2 2x y z???? ???? ? ? ?? ? ?在圓柱坐標(biāo)系中 222 11() 2 2 2rr r rrz? ? ???? ? ??? ? ? ??? ??在球坐標(biāo)系中 2222 1 1 1( ) ( sin )2 2 2 2sin sinRRRR R R? ? ?????? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? 恒定電場的位函數(shù)分布 根據(jù)電流連續(xù)性方程 及物態(tài)方程 并設(shè)電導(dǎo)率 為一常數(shù)（對應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有 0J? ? ? JE???2( ) ( ) 0JE ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 則有 2 0?? ＝在無源區(qū)域， 恒定電場是一個位場，即有 0E? ? ?這時同樣可以引入一個標(biāo)量位函數(shù) 使得 ? E ?? ??這說明，在無源區(qū)域，恒定電場的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。 如果場中某處有 ρ=0 ，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)? 2 0???我們將這種形式的方程稱為 拉普拉斯方程。 ?0??? 所以有 對于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)， ε為常數(shù) , ()D E E? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?()? ? ?? ? ?? ?即 靜電場 的位函數(shù) 滿足的方程。 另外： 磁介質(zhì)中的物態(tài)方程為 恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個磁場不隨時間變化，是恒定磁場。 另外： 導(dǎo)體中的物態(tài)方程為 恒定磁場的基本方程 0slsB dsH dl J ds??? ? ????這是恒定磁場的基本方程。當(dāng)導(dǎo)體中有電流時，由于導(dǎo)體電阻的存在，要在導(dǎo)體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內(nèi)部的電場也是恒定的。 靜電場的基本方程 靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場，其基本方程為 0DE?? ? ?? ? ? 0svlD d s d v qE d l?? ? ??????上式表明：靜電場中的旋度為 0，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場的通量源。沒有變化的磁場，也沒有變化的電場。 1. 靜電場、恒定電場 、恒定磁場的基本方程 4. 鏡像法 、分離變量法 、格林函數(shù)法 、 有限差分法 重點 ： 3. 求解靜態(tài)場位函數(shù)方程的方法所依據(jù)的理論： 對偶原理、疊加原理、唯一性定理 2. 靜態(tài)場的位函數(shù)方程 泊松方程和拉普拉斯方程 靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組 對于靜態(tài)場，各場量只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，并不隨時間而變化，即與時間 t無關(guān)。 最后，靜態(tài)場問題可歸結(jié)為求泊松方程和拉普拉斯方程解的問題。分析靜態(tài)場，必須從麥克斯韋方程組這個電磁場的普遍規(guī)律出發(fā)，導(dǎo)出靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組，即描述靜態(tài)場特性的基本方程。第 5章 靜態(tài)場的解 靜態(tài)場是指場量不隨時間變化的場。靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時變電磁場的特例。再根據(jù)它們的特性，聯(lián)合物態(tài)方程推導(dǎo)出位函數(shù)的泊松方程和拉普拉斯方程。通常求解這兩個方程的方法有：鏡像法、分離變量法和復(fù)變函數(shù)法，它們屬于解析法，而在近似計算中常用有限差分法。因此 ，靜態(tài)場的麥克斯韋方程組為： 00DEBHJ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?00svlslsD d s dvE d lB d sH d l J d s???????? ? ???????電流連續(xù)性方程為： 00J d ssJ ??? ? ? ?由上述方程組可知，靜態(tài)場與時變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場和磁場是彼此獨立存在的，即電場只由電荷產(chǎn)生，磁場只由電流產(chǎn)生。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場、恒定電場和恒定磁場的基本方程。 另外：電介質(zhì)的物態(tài)方程為 E ?? ??靜電場是一個有源無旋場，所以靜電場可用電位函數(shù)來描述，即 DE?? 恒定電場的基本方程 載有恒定電流的導(dǎo)體內(nèi)部及其周圍介質(zhì)中產(chǎn)生的電場，即為恒定電場。 若一閉合路徑經(jīng)過電源，則： El E d l ????0s J d s???即電場強度 的線積分等于電源的電動勢 EE?若閉合路徑不經(jīng)過電源，則： 0l E d l???這是恒定電場在無源區(qū)的基本方程積分形式，其微分形式為 00EJ? ? ? ? ? ?JE??從以上分析可知，恒定電場的無源區(qū)域也是一個位場，也可用一個標(biāo)量函數(shù)來描述。