【正文】 BH??從以上方程可知，恒定磁場是一個旋渦場，電流是這個旋渦場的源，電流線是閉合的。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為 I，電流密度為 ,則有 J0BHJ? ? ?? ? ? 靜電場既然是一個位場，就可以用一個標(biāo)量函數(shù) 的梯度來表示它 : ?E ?? ?? 泊松方程和拉普拉斯方程 靜電場的位函數(shù)分布 即 式中的標(biāo)量函數(shù) 稱為電位函數(shù)。 ?2 ?? ?? ? ?上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有 “ 源 ” 的區(qū)域內(nèi)，靜電場的電位函數(shù)所滿足的方程，我們將這種形式的方程稱為 泊松方程。它是在不存在電荷的區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù) 應(yīng)滿足的方程。 恒定磁場的位函數(shù)分布 2()A A A J?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?人為規(guī)定 0A? ? ? (1) 磁場的矢量位函數(shù) 這個規(guī)定被稱為庫侖規(guī)范 2 AJ?? ? ?于是有 此式即為矢量磁位的泊松方程。 在沒有電流的區(qū)域 , 所以有 0J ?在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)? 00BH? ? ? ? ? ? (2) 磁場的標(biāo)量位函數(shù) m?這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個標(biāo)量函數(shù)， 即標(biāo)量磁位函數(shù) 注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。 因此，靜態(tài)場的求解問題就變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問題。 在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個方程稱為對偶性方程，在對偶性方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。 ρ=0 區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶 0E? ? ?2 0???qI?靜電場 恒定電場 對偶量 0E? ? ? EE?E ?? ?? E ?? ?? ???0J? ? ?0D? ? ? DJ?DE?? JE?? ???2 0??? ???q D d ss??? I J d ss??? ρ=0 區(qū)域的靜電場與 區(qū)域的恒定磁場的對偶 0E? ? ?2 0???m???靜電場 恒定磁場 對偶量 0H? ? ? EH?0B? ? ?0D? ? ? DB?DE?? BH?? ???2 0m???q ??q D d ss??? Bs ds?? ? ?0J ? 疊加原理和唯一性定理 在研究具體的工程電磁場問題時，無論是靜電場、恒定電場、還是恒定磁場，都需要根據(jù)實際工程中給定的邊界條件，通過求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到標(biāo)量電位函數(shù)或矢量磁位函數(shù)。 ()fs因為 ()fsn?? ??故上式相當(dāng)于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強度的法向分量，這類問題稱為第二類邊界條件。 疊加原理 若 和 分別滿足拉普拉斯方程，即 和 ,則 和 的線性組合： 必然也滿足拉普拉斯方程： 式中 a、 b均為常系數(shù)。 鏡象法 鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷來代替或等效實際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場，而得到源電荷與實際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場，這種方法稱為鏡象法。當(dāng)然，這就需要假設(shè)鏡象電荷與源電荷共同產(chǎn)生了一個總的電位函數(shù)，它既能滿足給定的具體邊界條件，又在一定區(qū)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程。因此，用鏡象法求解靜電場問題的關(guān)鍵是尋找合適的鏡象電荷，然后再引出位函數(shù)并求解，這是分析很多電磁問題的一種有效方法。這時整個電場是靜電場，是由電荷 q和導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的。 如果設(shè)想把無限大導(dǎo)電平板撤去，整個空間充滿同一種介質(zhì) ε，并在點電荷 q的對稱位置上，放一個點電荷 q來代替導(dǎo)電平板上的感應(yīng)電荷。 這時， p點的電位為 11222 1 212 2 2 2 2 21 1 1 1()4 4 411[]4[ ( ) ] [ ( ) ]qrqqr r rqx y z h x y z h?? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ?若將源點電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電荷可以看成是由無限多個連續(xù)分布的點電荷組成的，用鏡象法同樣可計算出在 z0的空間任一點的電位。 無限長通電直導(dǎo)線在一無限大磁介質(zhì)平面上方在空間中一點 P的磁場由電流和鏡象電流共同產(chǎn)生 。 電介質(zhì)分界面的鏡象電荷 如圖，如果分界面是介電常數(shù)為 ε1 和 ε2 的兩種無限大介質(zhì)的邊界平面，在介質(zhì) 1中距分界面為 h處置有一點電荷 q， 則求解介質(zhì)空間中任一點的電場電位分布可以用鏡像法求解。 在介質(zhì) 1中，除 q點處以外 ,均有 2 1 00z???＝ （ ）q39。介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在介質(zhì) 1中產(chǎn)生的電場可以用處于 z0的區(qū)域內(nèi)的一個鏡像電荷 來等效。q2 2 00z???＝ （ ）在介質(zhì)分界面上，場存在的邊界條件是： 則 1 2 1 2n n t tD D E E??為了求介質(zhì) 1中的場，將整個空間充滿 ε 1介質(zhì)，設(shè)在源電荷 q對稱位置上的鏡像電荷為 39。將整個空間看成是充滿介質(zhì) ε 2，則介質(zhì) ε 2中的場由在源點電荷上的象電荷 產(chǎn)生 39。q39。q在介質(zhì) 1中，界面上 p點的電場強度的切向分量 1 si n si n si n2 2 24 4 41 1 1tq q q qr r rE ? ? ?? ? ? ? ? ??? ????在介質(zhì) 2中，電場是由 產(chǎn)生的。39。 鏡像電荷周圍的介質(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一致的。 可以用類似的方法來處理兩種磁介質(zhì)分界面兩邊的磁場計算問題。 ? 鏡像法求解注意： ? 鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時將會改變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯方程或泊松方程。 ? 所得電位函數(shù)必須滿足原來的邊界條件。 球形邊界問題 如圖（ page107,圖 ），接地導(dǎo)體球，半徑為 a，在球外與球心相 距為 d的 p點處有一點電荷 q，點電荷 q將在導(dǎo)體球表面產(chǎn)生感應(yīng)負(fù)電 荷，球外任一點的電位應(yīng)等于這些感應(yīng)電荷與點電荷 q產(chǎn)生的電位之 和。又由于球?qū)ΨQ性，這個鏡象電荷必然在點電荷