電磁場與電磁波第5章ok-全文預(yù)覽
【正文】 ? ∴ 04412qqrr? ? ? ????2121 rrqqrqrq ?????qqadbarr ??????12qqadbarr ??????12dab2? qdaq ???aqqd? ??可求出： 可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷的位置和電量大小，則位函數(shù)表達(dá)式就確定了。 4412qqrr? ? ? ? ????設(shè)想把導(dǎo)體球移開，用一個(gè)鏡象電荷代替球面上的感應(yīng)負(fù)電荷，為了不改變球外的電荷分布，鏡象電荷必須放在導(dǎo)體球內(nèi)。 ? 鏡像電荷周圍的介質(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一致的。 所得電位函數(shù)必須滿足原來的邊界條件。電場強(qiáng)度切向分量為 39。39。在介質(zhì) 2中的電場是源電荷通過介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在下半空間作用的結(jié)果 , 在上半空間用一鏡象電荷代替界面上的感應(yīng)束縛面電荷在下半空間產(chǎn)生的場，則 φ2 為： 39。 設(shè)在介質(zhì) ε1 和 ε2 內(nèi)的電位函數(shù)分別為 φ1 和φ2 。 推廣 兩相交半無限大導(dǎo)體平面，在角區(qū)內(nèi)的點(diǎn)電荷、線電荷的場也可用鏡象法求解 。 點(diǎn)電荷 q與導(dǎo)體平面之間的電位必須滿足下列條件： 在 z=0處， =0，因?yàn)闊o限大的導(dǎo)體平面電位為零； 在 z0的空間里，除了點(diǎn)電荷所在的點(diǎn)外，處處應(yīng)該滿足： ?2 0???用唯一性定理可以驗(yàn)證，這個(gè)假設(shè)的電位函數(shù)就是我們所要求的合成場 。那么，根據(jù)唯一性定理，所假設(shè)的位函數(shù)就是該區(qū)域上的唯一的電位函數(shù)。 1? 2? 2 1 0???2 2 0???1? 2? 12ab? ? ???2 12( ) 0ab??? ? ? 唯一性定理 唯一性定理可敘述為： 對(duì)于任一靜態(tài)場，在邊界條件給定后，空間各處的場也就唯一地確定了，或者說這時(shí)拉普拉斯方程的解是唯一的。 邊界條件的分類 給定位函數(shù)的邊界條件通常有三類： 第一類邊界條件 直接給定整個(gè)場域邊界上的位函數(shù)值 ()fs? ?為邊界點(diǎn) S的位函數(shù)，這類問題稱為第一類邊界條件。 對(duì)偶原理 如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并且有相似的邊界條件或?qū)?yīng)的邊界條件，那么它們的數(shù)學(xué)解的形式也將是相同的，這就是對(duì)偶原理。 H m?? ??即令 以上所導(dǎo)出的三個(gè)靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。 ?拉普拉斯算符 在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)形式： 2?在直角坐標(biāo)系中 22222 2 2x y z???? ???? ? ? ?? ? ?在圓柱坐標(biāo)系中 222 11() 2 2 2rr r rrz? ? ???? ? ??? ? ? ??? ??在球坐標(biāo)系中 2222 1 1 1( ) ( sin )2 2 2 2sin sinRRRR R R? ? ?????? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? 恒定電場的位函數(shù)分布 根據(jù)電流連續(xù)性方程 及物態(tài)方程 并設(shè)電導(dǎo)率 為一常數(shù)（對(duì)應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有 0J? ? ? JE???2( ) ( ) 0JE ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 則有 2 0?? ＝在無源區(qū)域， 恒定電場是一個(gè)位場，即有 0E? ? ?這時(shí)同樣可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù) 使得 ? E ?? ??這說明，在無源區(qū)域，恒定電場的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。 ?0??? 所以有 對(duì)于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)， ε為常數(shù) , ()D E E? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?()? ? ?? ? ?? ?即 靜電場 的位函數(shù) 滿足的方程。 另外： 導(dǎo)體中的物態(tài)方程為 恒定磁場的基本方程 0slsB dsH dl J ds??? ? ????這是恒定磁場的基本方程。 靜電場的基本方程 靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場，其基本方程為 0DE?? ? ?? ? ? 0svlD d s d v qE d l?? ? ??????上式表明：靜電場中的旋度為 0，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場的通量源。 1. 靜電場、恒定電場 、恒定磁場的基本方程 4. 鏡像法 、分離變量法 、格林函數(shù)法 、 有限差分法 重點(diǎn) ： 3. 求解靜態(tài)場位函數(shù)方程的方法所依據(jù)的理論： 對(duì)偶原理、疊加原理、唯一性定理 2. 靜態(tài)場的位函數(shù)方程 泊松方程和拉普拉斯方程 靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組 對(duì)于靜態(tài)場，各場量只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，并不隨時(shí)間而變化，即與時(shí)間 t無關(guān)。分析靜態(tài)場，必須從麥克斯韋方程組這個(gè)電磁場的普遍規(guī)律出發(fā)，導(dǎo)出靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組，即描述靜態(tài)場特性的基本方程。靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時(shí)變電磁場的特例。通常求解這兩個(gè)方程的方法有：鏡像法、分離變量法和復(fù)變函數(shù)法，它們屬于解析法，而在近似計(jì)算中常用有限差分法。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場、恒定電場和恒定磁場的基本方程。 若一閉合路徑經(jīng)過電源，則： El E d l ????0s J d s???即電場強(qiáng)度 的線積分等于電源的電動(dòng)勢 EE?若閉合路徑不經(jīng)過電源，則： 0l E d l???這是恒定電場在無源區(qū)的基本方程積分形式，其微分形式為 00EJ? ? ? ? ? ?JE??從以上分析可知，恒定電場的無源區(qū)域也是一個(gè)位場，也可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來描述。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為 I，電流密度為 ,則有 J0BHJ? ? ?? ? ? 靜電場既然是一個(gè)位場，就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 的梯度來表示它 : ?E ?? ?? 泊松方程和拉普拉斯方程 靜電場的位函數(shù)分布 即 式中的標(biāo)量函數(shù) 稱為電位函數(shù)。它是在不存在電荷的區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù) 應(yīng)滿足的方程。 在沒有電流的區(qū)域 , 所以有 0J ?在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程
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