【正文】 這種方法是在待求場域內(nèi)選取有限個(gè)離散點(diǎn)，在各個(gè)離散點(diǎn)上以差分方程近似代替各點(diǎn)上的微分方程，從而把以連續(xù)變量形式表示的位函數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為以離散點(diǎn)位函數(shù)值表示的方程組。其邊界條件由下式確定： 與第三類靜電場邊值問題相應(yīng)的第三類邊值問題的格林函數(shù) G3所滿足的方程及邊界條件為 ( , )2( , )33( ) 03rrG r rGGn s??????? ? ?????在此條件下，第三類靜電場邊值問題的解為 33() ( , 39。本節(jié)以靜電場的邊值問題為例，說明格林函數(shù)法在求解泊松方程中的應(yīng)用。在線性電路理論中，為了求一線性電路對(duì)任意激勵(lì)的全響應(yīng)，我們一般是在求得單位沖擊響應(yīng)的基礎(chǔ)上，先求出零狀態(tài)響應(yīng)，然后再加上零輸入響應(yīng)。至于將三個(gè)常數(shù)都假設(shè)為是某一個(gè)常數(shù)平方的負(fù)值，是因?yàn)橐狗匠痰慕獬蔀橐恍┨厥夂瘮?shù)，以便于利用邊界條件來確定常數(shù)。 通過分離變量，它將函數(shù)的偏微分方程分解為帶 “ 分離 ” 常數(shù)的幾個(gè)單變量的常微分方程。q? 若考慮球面一點(diǎn)的電位，因?yàn)槭墙拥兀瑒t : ? ∴ …… ① ? 現(xiàn)考慮邊界問題目的是要由已知 d,a,q確定的大小。 ? 鏡像法求解注意： ? 鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時(shí)將會(huì)改變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯方程或泊松方程。q在介質(zhì) 1中，界面上 p點(diǎn)的電場強(qiáng)度的切向分量 1 si n si n si n2 2 24 4 41 1 1tq q q qr r rE ? ? ?? ? ? ? ? ??? ????在介質(zhì) 2中，電場是由 產(chǎn)生的。介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在介質(zhì) 1中產(chǎn)生的電場可以用處于 z0的區(qū)域內(nèi)的一個(gè)鏡像電荷 來等效。 這時(shí)， p點(diǎn)的電位為 11222 1 212 2 2 2 2 21 1 1 1()4 4 411[]4[ ( ) ] [ ( ) ]qrqqr r rqx y z h x y z h?? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ?若將源點(diǎn)電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電荷可以看成是由無限多個(gè)連續(xù)分布的點(diǎn)電荷組成的，用鏡象法同樣可計(jì)算出在 z0的空間任一點(diǎn)的電位。當(dāng)然，這就需要假設(shè)鏡象電荷與源電荷共同產(chǎn)生了一個(gè)總的電位函數(shù)，它既能滿足給定的具體邊界條件，又在一定區(qū)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程。 ρ=0 區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對(duì)偶 0E? ? ?2 0???qI?靜電場 恒定電場 對(duì)偶量 0E? ? ? EE?E ?? ?? E ?? ?? ???0J? ? ?0D? ? ? DJ?DE?? JE?? ???2 0??? ???q D d ss??? I J d ss??? ρ=0 區(qū)域的靜電場與 區(qū)域的恒定磁場的對(duì)偶 0E? ? ?2 0???m???靜電場 恒定磁場 對(duì)偶量 0H? ? ? EH?0B? ? ?0D? ? ? DB?DE?? BH?? ???2 0m???q ??q D d ss??? Bs ds?? ? ?0J ? 疊加原理和唯一性定理 在研究具體的工程電磁場問題時(shí)，無論是靜電場、恒定電場、還是恒定磁場，都需要根據(jù)實(shí)際工程中給定的邊界條件，通過求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到標(biāo)量電位函數(shù)或矢量磁位函數(shù)。 在沒有電流的區(qū)域 , 所以有 0J ?在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)? 00BH? ? ? ? ? ? (2) 磁場的標(biāo)量位函數(shù) m?這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)， 即標(biāo)量磁位函數(shù) 注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為 I，電流密度為 ,則有 J0BHJ? ? ?? ? ? 靜電場既然是一個(gè)位場，就可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 的梯度來表示它 : ?E ?? ?? 泊松方程和拉普拉斯方程 靜電場的位函數(shù)分布 即 式中的標(biāo)量函數(shù) 稱為電位函數(shù)。既然如此，我們就可以分別寫出靜電場、恒定電場和恒定磁場的基本方程。靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時(shí)變電磁場的特例。 1. 靜電場、恒定電場 、恒定磁場的基本方程 4. 鏡像法 、分離變量法 、格林函數(shù)法 、 有限差分法 重點(diǎn) ： 3. 求解靜態(tài)場位函數(shù)方程的方法所依據(jù)的理論： 對(duì)偶原理、疊加原理、唯一性定理 2. 靜態(tài)場的位函數(shù)方程 泊松方程和拉普拉斯方程 靜態(tài)場中的麥克斯韋方程組 對(duì)于靜態(tài)場，各場量只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，并不隨時(shí)間而變化，即與時(shí)間 t無關(guān)。 另外： 導(dǎo)體中的物態(tài)方程為 恒定磁場的基本方程 0slsB dsH dl J ds??? ? ????這是恒定磁場的基本方程。 ?拉普拉斯算符 在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)形式： 2?在直角坐標(biāo)系中 22222 2 2x y z???? ???? ? ? ?? ? ?在圓柱坐標(biāo)系中 222 11() 2 2 2rr r rrz? ? ???? ? ??? ? ? ??? ??在球坐標(biāo)系中 2222 1 1 1( ) ( sin )2 2 2 2sin sinRRRR R R? ? ?????? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? 恒定電場的位函數(shù)分布 根據(jù)電流連續(xù)性方程 及物態(tài)方程 并設(shè)電導(dǎo)率 為一常數(shù)（對(duì)應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有 0J? ? ? JE???2( ) ( ) 0JE ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 則有 2 0?? ＝在無源區(qū)域， 恒定電場是一個(gè)位場，即有 0E? ? ?這時(shí)同樣可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù) 使得 ? E ?? ??這說明，在無源區(qū)域，恒定電場的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。 對(duì)偶原理 如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并且有相似的邊界條件或?qū)?yīng)的邊界條件