【正文】 K( ) sin c os12 xf x A K x A K xx??當(dāng) ，即 為實(shí)數(shù)時(shí)， 其解為 20xK ? ,K ia ax x x?() 12f x C x C??當(dāng) ， 其解為 20xK ?根據(jù) 取值的不同組合情況，其解 ,K K Kx y z f g h? ??＝的形式也有不同的組合，需要根據(jù)具體邊界條件來確定解的組合形式和待定系數(shù)。不同坐標(biāo)系分解出來的單變量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。 ? 在 M,N兩個(gè)特殊點(diǎn)考慮邊界： ? 在 M點(diǎn)： ? …… ② ? 同理在 N點(diǎn)： ? …… ③ ? ∴ 04412qqrr? ? ? ????2121 rrqqrqrq ?????qqadbarr ??????12qqadbarr ??????12dab2? qdaq ???aqqd? ??可求出： 可知鏡象電荷與源電荷總是極性相反的，確定了鏡像電荷的位置和電量大小，則位函數(shù)表達(dá)式就確定了。 ? 鏡像電荷周圍的介質(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一致的。電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量為 39。在介質(zhì) 2中的電場(chǎng)是源電荷通過介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在下半空間作用的結(jié)果 , 在上半空間用一鏡象電荷代替界面上的感應(yīng)束縛面電荷在下半空間產(chǎn)生的場(chǎng)，則 φ2 為： 39。 推廣 兩相交半無限大導(dǎo)體平面，在角區(qū)內(nèi)的點(diǎn)電荷、線電荷的場(chǎng)也可用鏡象法求解 。那么，根據(jù)唯一性定理，所假設(shè)的位函數(shù)就是該區(qū)域上的唯一的電位函數(shù)。 邊界條件的分類 給定位函數(shù)的邊界條件通常有三類： 第一類邊界條件 直接給定整個(gè)場(chǎng)域邊界上的位函數(shù)值 ()fs? ?為邊界點(diǎn) S的位函數(shù)，這類問題稱為第一類邊界條件。 H m?? ??即令 以上所導(dǎo)出的三個(gè)靜態(tài)場(chǎng)的基本方程表明：靜態(tài)場(chǎng)可以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。 ?0??? 所以有 對(duì)于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)， ε為常數(shù) , ()D E E? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?()? ? ?? ? ?? ?即 靜電場(chǎng) 的位函數(shù) 滿足的方程。 靜電場(chǎng)的基本方程 靜電場(chǎng)是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場(chǎng)，其基本方程為 0DE?? ? ?? ? ? 0svlD d s d v qE d l?? ? ??????上式表明：靜電場(chǎng)中的旋度為 0，即靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)生電場(chǎng)的通量源。分析靜態(tài)場(chǎng)，必須從麥克斯韋方程組這個(gè)電磁場(chǎng)的普遍規(guī)律出發(fā)，導(dǎo)出靜態(tài)場(chǎng)中的麥克斯韋方程組，即描述靜態(tài)場(chǎng)特性的基本方程。通常求解這兩個(gè)方程的方法有：鏡像法、分離變量法和復(fù)變函數(shù)法，它們屬于解析法，而在近似計(jì)算中常用有限差分法。 若一閉合路徑經(jīng)過電源，則： El E d l ????0s J d s???即電場(chǎng)強(qiáng)度 的線積分等于電源的電動(dòng)勢(shì) EE?若閉合路徑不經(jīng)過電源，則： 0l E d l???這是恒定電場(chǎng)在無源區(qū)的基本方程積分形式，其微分形式為 00EJ? ? ? ? ? ?JE??從以上分析可知，恒定電場(chǎng)的無源區(qū)域也是一個(gè)位場(chǎng)，也可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)來描述。它是在不存在電荷的區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù) 應(yīng)滿足的方程。 在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個(gè)重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。 疊加原理 若 和 分別滿足拉普拉斯方程，即 和 ,則 和 的線性組合： 必然也滿足拉普拉斯方程： 式中 a、 b均為常系數(shù)。這時(shí)整個(gè)電場(chǎng)是靜電場(chǎng)，是由電荷 q和導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的。 電介質(zhì)分界面的鏡象電荷 如圖，如果分界面是介電常數(shù)為 ε1 和 ε2 的兩種無限大介質(zhì)的邊界平面，在介質(zhì) 1中距分界面為 h處置有一點(diǎn)電荷 q， 則求解介質(zhì)空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)電位分布可以用鏡像法求解。將整個(gè)空間看成是充滿介質(zhì) ε 2，則介質(zhì) ε 2中的場(chǎng)由在源點(diǎn)電荷上的象電荷 產(chǎn)生 39。 鏡像電荷周圍的介質(zhì)應(yīng)該是與被討論的區(qū)間一致的。 球形邊界問題 如圖（ page107,圖 ），接地導(dǎo)體球，半徑為 a，在球外與球心相 距為 d的 p點(diǎn)處有一點(diǎn)電荷 q，點(diǎn)電荷 q將在導(dǎo)體球表面產(chǎn)生感應(yīng)負(fù)電 荷，球外任一點(diǎn)的電位應(yīng)等于這些感應(yīng)電荷與點(diǎn)電荷 q產(chǎn)生的電位之 和。q q 圓柱形邊界問題 一無限長(zhǎng)帶電線，電荷密度為 ,與半徑為 a的無限長(zhǎng)導(dǎo)電圓柱的軸線平行，線與圓柱軸線的距離為 d，無限長(zhǎng)導(dǎo)電圓柱等效為接地。 直角坐標(biāo)系中的分離變量法 如果所討論的場(chǎng)域的邊界面是平面，而且這些平面相互平行或相互垂直時(shí)，應(yīng)選擇直角坐標(biāo)系。根據(jù) φ與 z無關(guān)的條件，該問題滿足二維拉普拉斯方程。已知電荷分布就是已知空間電場(chǎng)激勵(lì)源的分布，因此只要知道點(diǎn)源的場(chǎng)，即可用疊加原理求出任意源的場(chǎng)。 與靜電場(chǎng)邊值問題一樣，格林函數(shù)的邊界條件也分為三類： 1( , )2( , )10srrG r rG????? ? ??（ 1）第一類邊值問題的格林函數(shù) 與第一類靜電場(chǎng)邊值問題相對(duì)應(yīng)的是第一類邊值問題的格林函數(shù)，用 G1 表示。 無界空間的格林函數(shù) 1144() R rrr ?? ??? ? ???計(jì)算無界空間的格林函數(shù)，就是要計(jì)算無界空間中位于 r’處的單位點(diǎn)電荷以無窮遠(yuǎn)為電位參考點(diǎn)時(shí)在空間 r處的電位，這一電位為 因此，無界空間的格林函數(shù)為 這是三維無界空間的格林函數(shù)。 2 ()2fxx??2 ()2fyy??2 ()2fxx??2 ()2fyy??(見 Page 118 例 和例 ) 例題