【正文】 引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)， 即標(biāo)量磁位函數(shù) 注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無源區(qū)才能應(yīng)用。 H m?? ??即令 以上所導(dǎo)出的三個(gè)靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。 因此，靜態(tài)場的求解問題就變成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的問題。這兩個(gè)方程是二階偏微分方程，針對具體的電磁問題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。 在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個(gè)重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。 對偶原理 如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并且有相似的邊界條件或?qū)?yīng)的邊界條件，那么它們的數(shù)學(xué)解的形式也將是相同的，這就是對偶原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個(gè)方程稱為對偶性方程，在對偶性方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。 有了對偶原理后，我們就能把某種場的分析計(jì)算結(jié)果，直接推廣到其對偶的場中，這也是求解電磁場的一種方法。 ρ=0 區(qū)域的靜電場與電源外區(qū)域的恒定電場的對偶 0E? ? ?2 0???qI?靜電場 恒定電場 對偶量 0E? ? ? EE?E ?? ?? E ?? ?? ???0J? ? ?0D? ? ? DJ?DE?? JE?? ???2 0??? ???q D d ss??? I J d ss??? ρ=0 區(qū)域的靜電場與 區(qū)域的恒定磁場的對偶 0E? ? ?2 0???m???靜電場 恒定磁場 對偶量 0H? ? ? EH?0B? ? ?0D? ? ? DB?DE?? BH?? ???2 0m???q ??q D d ss??? Bs ds?? ? ?0J ? 疊加原理和唯一性定理 在研究具體的工程電磁場問題時(shí)，無論是靜電場、恒定電場、還是恒定磁場，都需要根據(jù)實(shí)際工程中給定的邊界條件，通過求解泊松方程或拉普拉斯方程，得到標(biāo)量電位函數(shù)或矢量磁位函數(shù)。 邊界條件的分類 給定位函數(shù)的邊界條件通常有三類： 第一類邊界條件 直接給定整個(gè)場域邊界上的位函數(shù)值 ()fs? ?為邊界點(diǎn) S的位函數(shù)，這類問題稱為第一類邊界條件。 ()fs因?yàn)? ()fsn?? ??故上式相當(dāng)于給定了邊界表面的面電荷密度或電場強(qiáng)度的法向分量，這類問題稱為第二類邊界條件。 DEs n n n?? ? ? ?? ? ? ? ?第二類邊界條件 只給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值 第三類邊界條件 給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合 ( ) ( )12f s f sn?? ??? ?這是混合邊界條件，稱為第三類邊界條件。 疊加原理 若 和 分別滿足拉普拉斯方程，即 和 ,則 和 的線性組合： 必然也滿足拉普拉斯方程： 式中 a、 b均為常系數(shù)。 1? 2? 2 1 0???2 2 0???1? 2? 12ab? ? ???2 12( ) 0ab??? ? ? 唯一性定理 唯一性定理可敘述為： 對于任一靜態(tài)場，在邊界條件給定后，空間各處的場也就唯一地確定了，或者說這時(shí)拉普拉斯方程的解是唯一的。 鏡象法 鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電荷或線電荷來代替或等效實(shí)際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個(gè)相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計(jì)算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場，而得到源電荷與實(shí)際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場，這種方法稱為鏡象法。 一般可以考慮采用標(biāo)量位函數(shù)來計(jì)算這個(gè)由電荷所產(chǎn)生的合成電場，這樣可以避免復(fù)雜的矢量運(yùn)算。當(dāng)然，這就需要假設(shè)鏡象電荷與源電荷共同產(chǎn)生了一個(gè)總的電位函數(shù)，它既能滿足給定的具體邊界條件，又在一定區(qū)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程。那么，根據(jù)唯一性定理，所假設(shè)的位函數(shù)就是該區(qū)域上的唯一的電位函數(shù)。因此，用鏡象法求解靜電場問題的關(guān)鍵是尋找合適的鏡象電荷，然后再引出位函數(shù)并求解，這是分析很多電磁問題的一種有效方法。 點(diǎn)電荷與無限大的平面導(dǎo)體的合成場計(jì)算 qq?1rph?2rz 如圖取直角坐標(biāo)系，使 z=0的平面與導(dǎo)體平面重合，并將 +q電荷放在 z軸上。這時(shí)整個(gè)電場是靜電場，是由電荷 q和導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的。 點(diǎn)電荷 q與導(dǎo)體平面之間的電位必須滿足下列條件： 在 z=0處， =0，因?yàn)闊o限大的導(dǎo)體平面電位為零； 在 z0的空間里，除了點(diǎn)電荷所在的點(diǎn)外，處處應(yīng)該滿足： ?2 0???用唯一性定理可以驗(yàn)證，這個(gè)假設(shè)的電位函數(shù)就是我們所要求的合成場 。 如果設(shè)想把無限大導(dǎo)電平板撤去，整個(gè)空間充滿同一種介質(zhì) ε，并在點(diǎn)電荷 q的對稱位置上，放一個(gè)點(diǎn)電荷 q來代替導(dǎo)電平板上的感應(yīng)電荷。那么在 z0空間里任一點(diǎn) p(x,y,z)的電位就應(yīng)等于源電荷 q與鏡象電荷 q所產(chǎn)生的電位之和。 這時(shí)， p點(diǎn)的電位為 11222 1 212 2 2 2 2 21 1 1 1()4 4 411[]4[ ( ) ] [ ( ) ]qrqqr r rqx y z h x y z h?? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ?若將源點(diǎn)電荷換成線電荷，讓線電荷的線與平面平行，由于線電荷可以看成是由無限多個(gè)連續(xù)分布的點(diǎn)電荷組成的，用鏡象法同樣可計(jì)算出在 z0的空間任一點(diǎn)的電位。 推廣 兩相交半無限大導(dǎo)體平面，在角區(qū)內(nèi)的點(diǎn)電荷、線電荷的場也可用鏡象法求解 。 無限長通電直導(dǎo)線在一無限大磁介質(zhì)平面上方在空間中一點(diǎn) P的磁場由電流和鏡象電流共同產(chǎn)生 。 當(dāng)天線架設(shè)得比較低時(shí)，通常把地面假設(shè)為無限大的理想導(dǎo)電平面，地面的影響將歸結(jié)為鏡象天線所起的作用 。 電介質(zhì)分界面的鏡象電荷 如圖，如果分界面是介電常數(shù)為 ε1 和 ε2 的兩種無限大介質(zhì)的邊界平面，在介質(zhì) 1中距分界面為 h處置有一點(diǎn)電荷 q， 則求解介質(zhì)空間中任一點(diǎn)的電場電位分布可以用鏡像法求解。 設(shè)在介質(zhì) ε1 和 ε2 內(nèi)的電位函數(shù)分別為 φ1 和φ2 。 在介質(zhì) 1中，除 q點(diǎn)處以外 ,均有 2 1 00z???＝ （ ）q39。q1r1?h1?2rz2? 2? φ1 是點(diǎn)電荷 q與介質(zhì)分界面上感應(yīng)束縛電荷共同產(chǎn)生的電位函數(shù)。介質(zhì)分界面上的感應(yīng)束縛電荷在介質(zhì) 1中產(chǎn)生的電場可以用處于 z0的區(qū)域內(nèi)的一個(gè)鏡