電磁場與電磁波第5章ok(文件)
【正文】 坐標(biāo)原點、半徑為 a的球外空間的格林函數(shù) 11 ()41 2( , ) aR rRG r r ???? ??2 2 1 / 212 2 1 / 222( 2 c o s )( 2 c o s )c o s c o s c o s sin sin c o s( )arR r r rrR r r rrr??? ? ? ? ? ? ????? ? ??? ??? ? ??? ?? ? ?? ? ? 式中 有限差分法 有限差分法是一種近似數(shù)值計算法，在一些工程技術(shù)計算中被廣泛使用。 ? 函數(shù) f(x)的一階差分定義為 Δf(x)=f(x+h) f(x) 式中 h是自變量 x的增量，即 Δx=h, 將下面的式子稱為 f(x)的一階差商： ( ) ( )f f x h f xx h? ? ???f d fx dx? ??當(dāng) h很小時，差分 Δf 也很小，因此在近似計算中可用一階差商近似等于一階微分，即 2 ( ) ( )()2 2f x h f xfxx h? ? ? ?? ??二階 差商為 同樣可以定義二階差分為 Δ 2f(x)= Δf(x+h) Δf(x) 令二階差商近似等于二階微商 22 ( ) ( )( ) ( )22 2f x h f xd f x f xxx h? ? ? ??????差分方程就是在各離散點上，用 和 近似替代偏微分方程中的 和 ，從而將拉普拉斯方程或泊松方程這樣的偏微分方程化為一組代數(shù)方程，即差分方程。結(jié)合具體邊界條件，求解差分方程組，即得到所選的各個離散點上的位函數(shù)值。對于二維無界空間，格林函數(shù)為 1144( , ) R rrG r r ?? ???? ???C是常數(shù)，取決于電位參考點的選取。)( ) ( ) ( , )vf r G dSs rrr r G r r d V ? ??? ? ??? ? ???? 從以上推導(dǎo)過程可看出，格林函數(shù)解法的實質(zhì)是把泊松方程的求解轉(zhuǎn)化為特定邊界條件下點源激勵時位函數(shù)的求解。它在體積 V內(nèi)和邊界面 S上滿足的方程為 即第一類邊值問題的格林函數(shù)在邊界面 S上滿足齊次邊界條件。 靜電場邊值問題的格林函數(shù)法表達(dá)式 假定已知某給定區(qū)域 V內(nèi)的電荷體密度 ，則待求電位 滿足泊松方程 ()2 () rr ?? ?? ? ?與此相對應(yīng)的格林函數(shù) 滿足下列方程 ( , )2 ( , ) rrG r r ? ? ??? ? ?在上述第一式兩端乘與 G， 在上述第二式兩端乘與 φ ，二者相減再積分，可得 ()r? ()r?( , )G r r?22 ()()()vrrG d V r d VvvG G d V ?? ????? ?????? ? ? ? ??使用格林第二恒等式 22( ) ( )vsGG G dV G dSnn?? ? ???? ? ? ? ?????39。 格林函數(shù)的解題步驟是：首先用鏡像法或其他方法找到與待求問題對應(yīng)的格林函數(shù)，然后將它代入由格林第二恒等式導(dǎo)出的積分公式即得所求。所謂格林函數(shù)法就是上述方法在空間域中的應(yīng)用。 ∴ 在直角坐標(biāo)下，位函數(shù)的邊值為 : (0xa, 0yb) x=0, x≤y≤b x=a, x≤y≤b y=0, 0≤x≤a 0xa, y=b 0?Kz 022 ??yKxK2221xKdxfdf ??2221yKdygdg ??yKxK ,由于 φ (x,y)不是 z的函數(shù)，故分離出的常微分方程中不會有③式， z分量且④式中 , ，即 : …… ① …… ② 因此， 取值的可能組合及方程①、②的解形式有三種情況： 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法 如果待求場域的分界面與圓柱坐標(biāo)系中某一坐標(biāo)面相一致時，應(yīng)選擇圓柱坐標(biāo)系。 對于上面的式子，其解的形式如下： ( ) sin c os12 xf x A K x A K xx??當(dāng) ，即 為實數(shù)時， 其解為 20xK ? xK( ) sin c os12 xf x A K x A K xx??當(dāng) ，即 為實數(shù)時， 其解為 20xK ? ,K ia ax x x?() 12f x C x C??當(dāng) ， 其解為 20xK ?根據(jù) 取值的不同組合情況，其解 ,K K Kx y z f g h? ??＝的形式也有不同的組合，需要根據(jù)具體邊界條件來確定解的組合形式和待定系數(shù)。在直角坐標(biāo)系中，位函數(shù) φ 的拉普拉斯方程為 2222 02 2 2x y z???? ???? ? ? ? ?? ? ?令 φ為三個單變量函數(shù)的乘積，即 ( , , ) ( ) ( ) ( )x y z f x g y h z? ?代入上式，并在兩端同除以 φ，可得 22 21 1 102 2 2d f d g dhgfhd x d y d z? ? ?上式的三項中，每一項都是一個獨立變量的函數(shù)，而三項之和若要等于 0，則只有一個可能，就是每一項分別等于一個常數(shù)，而這三個常數(shù)之和為 0。不同坐標(biāo)系分解出來的單變量常微分方程的形式不同，其通解的形式也不同。 4412qqrr? ? ? ? ????利用球形邊界的分析方法：導(dǎo)電圓柱體上的鏡象線電荷為 : l?ll??? ??鏡象線電荷與圓柱軸線的偏心距離為 : 2adb ?這樣，用鏡象線電荷取代圓柱形導(dǎo)電體，就把問題簡化為了求兩條平行等值異號線電荷的電位和電場。 ? 在 M,N兩個特殊點考慮邊界： ? 在 M點： ? …… ② ? 同理在 N點： ? …… ③
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1