【正文】 q與球心所在的同一條直線上。q? 若考慮球面一點(diǎn)的電位，因?yàn)槭墙拥?，則 : ? ∴ …… ① ? 現(xiàn)考慮邊界問題目的是要由已知 d,a,q確定的大小。采用鏡象法后，球面外區(qū)域的電位函數(shù)相對(duì)容易計(jì)算。q q 圓柱形邊界問題 一無限長帶電線，電荷密度為 ,與半徑為 a的無限長導(dǎo)電圓柱的軸線平行，線與圓柱軸線的距離為 d，無限長導(dǎo)電圓柱等效為接地。 分離變量法 分離變量法是求解拉普拉斯方程的基本方法，該方法把一個(gè)多變量的函數(shù)表示成為幾個(gè)單變量函數(shù)的乘積后，再進(jìn)行計(jì)算。 通過分離變量，它將函數(shù)的偏微分方程分解為帶 “ 分離 ” 常數(shù)的幾個(gè)單變量的常微分方程。坐標(biāo)系的選擇應(yīng)盡量使場域邊界面平行于坐標(biāo)面。 直角坐標(biāo)系中的分離變量法 如果所討論的場域的邊界面是平面，而且這些平面相互平行或相互垂直時(shí)，應(yīng)選擇直角坐標(biāo)系。 222212212212xyzdfKf dxdgKg dydhKh dz??????并且 2220x y zKKK? ? ? 即令 據(jù)此，我們可將拉普拉斯方程分解成三個(gè)帶分離常數(shù)的常微分方程。至于將三個(gè)常數(shù)都假設(shè)為是某一個(gè)常數(shù)平方的負(fù)值，是因?yàn)橐狗匠痰慕獬蔀橐恍┨厥夂瘮?shù)，以便于利用邊界條件來確定常數(shù)。 例題 ? 一長直金屬槽的長度方向上平行軸放置，橫截面如圖所示，其側(cè)壁與底面的電位均為０，而頂蓋電位 φ(x,b)=υ(x)=100sin(x),求槽內(nèi)的電位分布 ? 解：由于槽內(nèi)場域中沒有電荷分布，所以電位函數(shù)應(yīng)滿足拉普拉斯方程。根據(jù) φ與 z無關(guān)的條件，該問題滿足二維拉普拉斯方程。在圓柱坐標(biāo)系中，拉普拉斯方程的表達(dá)式為 22202 2 2? ? ??? ? ? ?? ??? ???? １ １（ ｒ ） ＋ （ ） ＋ｒ ｒ ｒ ｒ ｚ令待求函數(shù) ( , , ) ( ) ( ) ( )r z f r g h z? ? ??代入上式，并在兩端同除以 φ ，再同乘以 r2后得 2 2211( ) 02df dgdr dhrr dzgf dr dr hd ?? ? ?上式中第二項(xiàng)僅與 φ 有關(guān) ，它應(yīng)等于常數(shù)，設(shè)為 n2 2 21 ( ) ( ) 02zdfdnr k fr f d r d r r? ? ?即 2 21 2dg ngd ? ??代入上式后可得： 因此便分離出三個(gè)常微分方程 ,它們的解的形式與 n2及 的取值有關(guān) , 其可能的組合情況有多種。在線性電路理論中，為了求一線性電路對(duì)任意激勵(lì)的全響應(yīng)，我們一般是在求得單位沖擊響應(yīng)的基礎(chǔ)上，先求出零狀態(tài)響應(yīng)，然后再加上零輸入響應(yīng)。邊值問題中的單位沖擊響應(yīng)函數(shù)就是格林函數(shù)。已知電荷分布就是已知空間電場激勵(lì)源的分布，因此只要知道點(diǎn)源的場，即可用疊加原理求出任意源的場。一般情況下，該積分有兩項(xiàng)；一項(xiàng)為零邊值響應(yīng)，另一項(xiàng)為零激勵(lì)響應(yīng)。本節(jié)以靜電場的邊值問題為例，說明格林函數(shù)法在求解泊松方程中的應(yīng)用。()( ) ( )S V VG G r rG d S d V r d Vnn? ? ?????? ? ?? ? ? ???? ? ?當(dāng)源點(diǎn)在區(qū)域 V內(nèi)時(shí)，有 ( ) ( ) ( )v r r r d V r? ? ?????? 可得 因而，上式可以寫為 ( ) ( , )[ ( ) ]( ) ( ) ( , )vr G r rG r d Ssnnr r G r r d V????? ??? ?????????將上式的源點(diǎn)和場點(diǎn)互換，并且利用格林函數(shù)的對(duì)稱性，得 ( ) ( , )[ ( ) ]( ) ( ) ( , )vr G r rG r d Ssnnr r G r r d V????? ???? ????????? ? ????此式就是有限區(qū)域 V內(nèi)任意一點(diǎn)電位的格林函數(shù)表示式。 與靜電場邊值問題一樣，格林函數(shù)的邊界條件也分為三類： 1( , )2( , )10srrG r rG????? ? ??（ 1）第一類邊值問題的格林函數(shù) 與第一類靜電場邊值問題相對(duì)應(yīng)的是第一類邊值問題的格林函數(shù)，用 G1 表示。將它代入上式，可得出第一類靜電場邊值問題的解為 1( , )1()( ) ( ) ( , )vG r rr dSs nr r G r r dV ????????? ??? ? ????與第二類靜電場邊值問題相對(duì)應(yīng)的是第二類邊值問題的格林函數(shù)，用 G2表示。其邊界條件由下式確定： 與第三類靜電場邊值問題相應(yīng)的第三類邊值問題的格林函數(shù) G3所滿足的方程及邊界條件為 ( , )2( , )33( ) 03rrG r rGGn s??????? ? ?????在此條件下，第三類靜電場邊值問題的解為 33() ( , 39。點(diǎn)源激勵(lì)下的位函數(shù)就是格林函數(shù)，格林函數(shù)所滿足的方程及邊界條件都比同類型的泊松方程要簡單。 無界空間的格林函數(shù) 1144() R rrr ?? ??? ? ???計(jì)算無界空間的格林函數(shù)，就是要計(jì)算無界空間中位于 r’處的單位點(diǎn)電荷以無窮遠(yuǎn)為電位參考點(diǎn)時(shí)在空間 r處的電位，這一電位為 因此，無界空間的格林函數(shù)為 這是三維無界空間的格林函數(shù)。 1 ln2( , ) RCG r r ??????2 2 1 / 2[ ( ) ( ) ]R x x y y??? ? ? ?式 中上半空間的格林函數(shù) 計(jì)算上半空間（ z0）的格林函數(shù)，就是求位于上半空間 r’處的單位點(diǎn)電荷以 z=0平面為電位零點(diǎn)時(shí)，在上半空間任意一點(diǎn) r處的電位。這種方法是在待求場域內(nèi)選取有限個(gè)離散點(diǎn)，在各個(gè)離散點(diǎn)上以差分方程近似代替各點(diǎn)上的微分方程，從而把以連續(xù)變量形式表示的位函數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為以離散點(diǎn)位函數(shù)值表示的方程組。 有限差分法不僅能處理線性問題，還能處理非線性問題；不僅能求解拉普拉斯方程，也能求解泊松方程；不僅能求解任意靜態(tài)場的問題，也能求解時(shí)變場的問題；而且這種方法不受邊界形狀的限制。 2 ()2fxx??2 ()2fyy??2 ()2fxx??2 ()2fyy??(見 Page 118 例 和例 ) 例題