【正文】 （ 165） ? 證明：根據(jù)三重積分的 計算法，有 ? ?zyxM , zyx FFF ,?yx zx y zVFF FF d y d z F d x d z F d x d y d x d y d zx y z?????? ?? ? ? ? ???? ? ?????xyzO1( , )z z x y?? 2( , )z z x y?圖 19 曲面積分與體積分關(guān)系 示意圖 ? ?21( , )( , )21d d d d d d( , , ) ( , , ) d dxyxyz x yzzD z x yzzDFFx y z x y zF x y z F x y z x y??????? ? ?? 根據(jù)曲面積分的計算法，則函數(shù)在邊界曲面的積分為 于是，比較上面所得得兩個結(jié)果，我們證得 ? 同樣可證 ? ?212121d d d d d d( , , ) d d ( , , ) d d( , , ) ( , , ) d dx y x yxyz z zzzDDzzDF x y F x y F x yF x y z x y F x y z x yF x y z F x y z x y? ? ???????? ? ????d d d d dzzVFF x y x y zz???????d d d d dxxVFF y z x y zx???????d d d d dyyVFF x z x y zy???????? 合并上述三式即得（ 165）式。在場中任一點，矢量場的散度等于在各坐標(biāo)軸上的分量對各自坐標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)之和。所以從空間任一體積內(nèi)穿出的通量應(yīng)等于 在 內(nèi)的體積分，即 這個通量也就是從限定體積的閉合面上穿出的凈通量。 ? 意義 ：任意矢量場的散度在場中任意一個體機內(nèi)的體積分等于矢量場在限定該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的積分。 F??F???dV V? ? ? ?? FddVsV? ? ? ???F F s 【 例 15】 點電荷位于坐標(biāo)原點，在離其 處產(chǎn)生的電通量密度為 求任意點處電通量密度的散度，并求穿出以 為半徑的球面的電通量。 這證明在此球面上所穿過的電通量的源正是點電荷。對于具有另一種源（即旋渦源）的矢量場，必須引入環(huán)量和旋度的概念。記作 （ 174） 環(huán)量是一個代數(shù)量，它的大小正負(fù)不僅與矢量場的分布有關(guān)，而且與所取的積分環(huán)繞方向有關(guān)。 如果在一個矢量場中沿任何閉合路徑上的環(huán)量恒等于零，則在這個場中不可能有旋渦源。 Fd c o s dll Fl ?? ? ? ???Fl? 2. 旋 度 ? 矢量場沿某一在閉合曲線的環(huán)量，是與矢量場在那個區(qū)域的旋渦源分布有關(guān)，同時也與閉合曲線的取法有關(guān)。需要引入矢量場旋度的概念。 環(huán)量面密度是一個標(biāo)量，而旋度是個矢量。即 （ 176） 0dl im ls s????? FlrotF curlF0n? ?000r o t l i m lSnds????? ??FlFn (二 ) 旋度在直角坐標(biāo)系中的表示式 ? 在直角坐標(biāo)系下 （ 177） （ 178） ? 利用高等數(shù)學(xué)中學(xué)過的格林公式 xyzO( , )z f xy?圖 111 曲面積分與線積分關(guān) 系示意圖 d d d dx y zx y z? ? ?l e e ed d d dx y zll F x F y F z? ? ? ???Fl? ?( , , )d , , ( , ) dxxl F x y z x F x y f x y x????d d d dlSQPP x Q y x yxy????? ? ?????????? ?, , ( , )( , , ) d dddxyxyxxlDxxyDF x y f x yF x y z d x x yyFFf x yyz?????????? ? ?????????? 又對于曲面 S來說，其方程為 ，假設(shè)其上任一點的法向單位矢量的方向余弦為 ，則有 （ 180） 且有 （ 181） ? 得 （ 182） 將（ 182）代入到（ 179）式得 （ 183） ? 同理可證： ( , )z f x y?? ?c o s , c o s , c o s? ? ?c o s c o s c o s1xyff? ? ????? ?d d c o s d , d d c o s d , d d c o s dy z s x z s x y s? ? ?? ? ?c osd d d d d dc os yx z x y f x y?? ?? ? ?d d d dxxxl S SFFF d x x z x yzy????? ? ? ? 組合（ 181）（ 182）式，利用（ 180）式得 ? 由（ 175）式，當(dāng) 時 ， ，所以有 d d d dyyyl S SFFF d y x y y zxz????? ? ?d d d dzzzl S SFFF d z y z x zyx????? ? ?*d c o s c o s c o s dc o s c o s c o sy xxz z zLSy xxz z zMF FFF F FSy z z x z xF FFF F FSy z z x z x? ? ?? ? ?? ? ??? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ??? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?????Fl0S?? *MM?00dr ot l i m c os c os c osyy xxL z zS FF FFFFS y z z x x y? ? ???? ??? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? FlFn? 得旋度在直角坐標(biāo)系中的表示式 （ 186） 由上式看出， 剛好等于哈密頓算子與矢量的矢積，即 一個矢量函數(shù)的旋度仍然是一個矢量函數(shù)， 可以用來描述場在空間的變化規(guī)律。 r o t yyxxzz x y zFFFFFFy z z x x y??? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?F e e erotF? ?r otx y z x x y y z zx y zx y zF F Fx y zx y zF F F??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ???? ? ?F e e e e e ee e eF（三） 旋度與散度的區(qū)別 ? （ 1） 一個矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)；一個矢量場的散度是一個標(biāo)量函數(shù)。如果在矢量場所存在的全部空間里，場的旋度處處等于零，則這種場不可能有漩渦源，稱為無旋場或保守場。如果在矢量場所充滿的空間里，場的散度處處為零，則場不可能有通量源，稱為管形場或無源場。 ? （ 3） 矢量場的分量只對求偏導(dǎo)數(shù)，旋度描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。 （四） 旋度的基本運算公式 ? （ C為常矢量） （ 188） ? （ C為常數(shù)） （ 189） ? （ 190） ? （ u為標(biāo)量函數(shù)） （ 191） （ 192） ?? ?C0? ?CC? ? ? ? ?FF? ? GFGF ?????????? ?u u u? ? ? ? ? ? ? ?F F F? ? GFFGGF ??????????? 3 斯托克斯（ Stokes）定理 ? 對于矢量場所在的空間中任一個以為周界的曲面，存在以下關(guān)系 （ 193） 這就是 斯托克斯定理 。在任意曲面的通量等于沿該曲面的周界的環(huán)量。 如圖 112所示，在矢量場中，任取一個非閉合曲面它的周界長度是 ，把分成許多面積元。 ? ?0 dl i m iils is????? ? ? ??? 0iFlFn圖 112 斯托克斯定 理示意圖 0?? is? ? ? ?00d l im l imi ii iil sss? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 0iF l F n F s? ??? ?? ??? ??????? Ni isNi l ii 1 01l i m sFdlF 曲面的周界上的各個線元的積分不被抵消。 1ddiNlli ?? ? ? ?? ??F l F l? ? ? ?01l i m diNi ssi????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?F s F s? ?sldd? ? ? ? ???F s F l【 例 17】 矢量場 ,試求它沿閉合曲線上的環(huán)量并驗證斯托克斯定理。 【 解 】 由矢量方程： ，可解得 （ C為任意函數(shù)） 所以矢量線是一族以坐標(biāo)原點為中心的平面圓。由于對稱關(guān)系，上述以為周界的面積分值等于第一象限中的四倍，所以 ? ?2 2 2 4 2 2 4 20 3d 3 c o s s in 3 s in c o s d 4l a a a? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???Fl? ? ds ? ? ?? F