【正文】 0 0 2 1 0 3 ( 1 ) 0 0 ( 4 ) 2 2 3 4AB? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?167。 場的概念 ? 逆矩陣的求法 11 21 112 22 2*12........ . .. ....nnn n n nA A AA A AAA A A?????????其中 為 A的 伴隨矩陣 n階方陣 A可逆的充分必要條件是 |A|≠ 0,且當(dāng) A可逆時， 有 1*1||AAA? ?Aij是 |A|的元素 aij的代數(shù)余子式 注意此矩陣行和 列的排列，轉(zhuǎn)置矩陣 167。 場的概念 計算 04020048131001020215891702135?????A???????????????334212211A 1?A 已知 求： ?作業(yè) 167。 ? 對標(biāo)量場 》 等值面圖表示： 空間內(nèi)標(biāo)量值相等的點集合形成的曲面稱等值面，如等溫面等。如等高線等。 場的概念 100200300400》 等值面和等值線作用： 幫助了解標(biāo)量場在空間中的分布情況。 場的概念 ? 對矢量場 》 矢量線表示： 用一些有向矢量線來形象表示矢量在空間的分布，稱為矢量線。 ? 特點： 矢量線上任意點的切線方向必定與該點的矢量方向相同 ? 矢量線方程（直角坐標(biāo)系）： x y zd x d y d zA A A??167。 ABA點受到向下電場力 B點受到向下電場力 A點比 B點受到的力大 越密矢量越大 167。 解： 點 M的坐標(biāo)是 x0=1, y0=0, z0=1， 則該點的數(shù)量場值為 φ=(x0+y0)2z0=0。 場的概念 例 12 求矢量場 的矢量線方程 解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 2 2 2d x d y d zx y x y y z??2222d x d yx y x yd x d zx y y z?????????1222z c xx y c? ???? ???從而有 c1和 c2是積分常數(shù)。 場的概念 167。 標(biāo)量場方向?qū)?shù) (標(biāo)量 ) Directional Derivative 設(shè) M0是標(biāo)量場 φ=φ(M)中的一個已知點 ， 從 M0出發(fā)沿某一方向引一條射線 l, 在 l上 M0的鄰近取一點 M，MM0=ρ， 若當(dāng) M趨于 M0時 (即 ρ趨于零時 ) 0( ) ( )MM??????? ?的極限存在 ， 稱此極限為函數(shù) φ(M) 在點 M0處沿 l方向的方向?qū)?shù) ， 記為 000( ) ( )limMMMMMl??????? ??結(jié)論： 0Ml???)(M? 0M l? 方向?qū)?shù) 是函數(shù) 在點 處沿方向 對距離的變化率 0l?? ??表明 M0處函數(shù) Φ 沿 l 方向增加，反之減小 ? 若函數(shù) φ=φ(x, y, z)在點 M0(x0, y0, z0)處可微， cosα、cosβ、 cosγ為 l方向的方向余弦，則函數(shù) φ在點 M0處沿 l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為 0c o s c o s c o sMl x y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?167。 標(biāo)量場方向?qū)?shù) 解： l方向的方向余弦為 1 2 2c o s c o s c o s3 3 3? ? ?? ? ?2222 2 ( ),u x u y u x yx z y z z z? ? ? ? ?? ? ?? ? ?c o s c o s c o su u u ul x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?1 2 2 2 2113 3 3 4 3Ml?? ? ? ? ? ? ? ??而 數(shù)量場在 l 方向的方向?qū)?shù)為 點 M處沿 l方向的方向?qū)?shù) 2221 2 2 2 23 3 3x y x yzz z?? ? ?例 13 求數(shù)量場 在點 M(1, 1, 2)處沿 方向的方向?qū)?shù) 22xyuz??22x y zl e e e? ? ?167。 標(biāo)量場的梯度 (矢量 ) gradient 在直角坐標(biāo)系中 x y zg r a d G e e ex y z? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?梯度的定義： 在標(biāo)量場 中的一點 M處 ， 其 方向 為函數(shù) 在 M點處變化率最大的方向 ， 其 模 又恰好等于最大變化率的 矢量 ， 稱為標(biāo)量場 在 M點處的梯度 ， 用 表示 。 標(biāo)量場的梯度 0ll?????? ??梯度的性質(zhì)： )(M?)(M?》 標(biāo)量場 中每一點 M處的梯度垂直于過該點的等值面，且指向函數(shù) 的增大方向。 》 在某點 M處沿任意方向的方向?qū)?shù)等于該點處的梯度在此方向上的投影。 標(biāo)量場的梯度 梯度運算法則 2200( ) ( )( ) ( )( ) ( )11( ) ( )[ ( ) ] 39。 ( )gra dc cgra d c u c gra du c u c ugra d u v gra du gra dv u v u vgra d u v v gra du u gra dv u v v u u vuugra d v gra du u gra dv v u u vvvvvgra d f u f u gra dv f u f u u? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?或或或或或或167。 標(biāo)量場的梯度 證明見例 14 矢量單位化方法 167。 矢量場的通量（ flux） 一、面元矢量： 面積很小的有向曲面 dSnSd ?? ?方向： 開曲面上的面元 閉合面上的面元 確定繞行 l的方向后， 沿繞行方向按右手 螺旋 — 拇指方向 閉合曲面的 外法線方向 二、通量（標(biāo)量） A? Sd? 穿過面元 的通量 A? 穿過整個曲面 S的通量 A? 穿過閉合曲面 S的通量 dSASdA ?c o s???? ???? ???? SS dSASdA ?c os???? ???? SS dSASdA ?c os??通量特性： 反映某一空間內(nèi)場源總的特性 — 凈流量 通過閉合面 S的通量的物理意義 （流出正，流入負(fù)） 》 Ψ0，穿出多于穿入， S內(nèi)有發(fā)出矢量線的 正源 》 Ψ0， 穿出 少于穿入， S內(nèi)有 匯集矢量線的 負(fù)源 》 Ψ=0， 穿出 等于穿入， S內(nèi) 無源 ，或 正源負(fù)源代數(shù)和為 0 A ?ndS167。 矢量場的散度 (標(biāo)量 )(divergence) VSdASV ???????0l i m A?散度的定義： 極限存在，此極限為矢量場 在某點的散度 0lim SVA d Sd iv A V???? ??散度的定義式： 散度的物理意義： 》 散度表征矢量場的通量源的分布特性。 矢量場的散度 A?? ?矢量恒等式 例 19 原點處點電荷 q產(chǎn)生電位移矢量 試求電位移矢量 的散度。 矢量場的散度 2 2 2r x y z? ? ?注 意思考： r = 0的空間呢？ 有散度源 167。 ? ? ????V S SdAdVA ???應(yīng)用： 》 將一個封閉面積分變成等價的體積分 》 將一個體積分變成等價的封閉面積分 證明： 散度定理 ? ? ????V S SdAdVA???證： 將閉合曲面 S包圍的體積 V分成許多小體積元 dVi (i=1~n)，計算每個體積元的小封閉曲面 Si上的通量，再疊加。有部分表面在 S面上，這部分表面的通量沒有被抵消，其總和剛好等于從封閉面 S穿出的通量。 散度定理 例 110 球面 S上任意點的位置矢量為 求 S r d S???x y zr xe y e ze? ? ?SVr d S r d V? ? ? ??? ???解： 根據(jù)散度定理知 而散度為 3x y zr x y z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?所以 3343 3 43S V Vr d S r d V d V R R??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ???R為球面半徑 167。 矢量場的環(huán)量和旋度 167。 例 111 求矢量 (c是常數(shù) )沿曲線 (x2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量 x y zA y e xe c e? ? ? ?A dl? ? ??()l y d x x d y? ? ??2200s in ( 2 c o s ) ( 2 c o s ) ( s in )