【正文】 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 解 選定均勻電場(chǎng)空間中的一點(diǎn) o為坐標(biāo)原點(diǎn)，而任意點(diǎn) P 的位置矢量為 ，則 若選擇點(diǎn) o為電位參考點(diǎn)，即 ，則 ( ) 0o? ? 在球坐標(biāo)系中，取極軸與 的方向一致，即 ，則有 00zE e E?0E例 求均勻電場(chǎng)的電位分布。 4. 電位參考點(diǎn) 為使空間各點(diǎn)電位具有確定值 ， 可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn) ， 且令參考點(diǎn)的電位為零 ， 由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值 ， 所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值 ， 即 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 例 求電偶極子的電位 . 解 在球坐標(biāo)系中 21120210 4)11(4)( rr rrqrrqr ???? ????? ???c o s)2/(c o s)2/(222221rddrrrddrr???????c os22 drr ??用二項(xiàng)式展開，由于 ，得 dr ??,c os21 ?drr ??302020 444c o s)(rrpreprqdr r???????? ????? ?????代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。 )()(dd QPlE QPQP ??? ????? ?? ??P、 Q 兩點(diǎn)間的電位差 電場(chǎng)力做的功 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 靜電位不惟一，可以相差一個(gè)常數(shù)，即 ????? ??????????? )( CC選參考點(diǎn) 令參考點(diǎn)電位為零 電位確定值 (電位差 ) 兩點(diǎn)間電位差有定值 選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義； 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單 。第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 本章內(nèi)容 靜電場(chǎng)分析 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析 恒定磁場(chǎng)分析 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題及解的惟一性定理 鏡像法 分離變量法 ? 靜態(tài)電磁場(chǎng)： 場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng) ? 時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng) ? 靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 靜電場(chǎng)分析 學(xué)習(xí)內(nèi)容 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 電位函數(shù) 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 靜電場(chǎng)的能量 靜電力 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 2. 邊界條件 微分形式： 本構(gòu)關(guān)系： 1. 基本方程 積分形式： 或 若分界面上不存在面電荷，即 ρ S＝ 0，則 或 靜電場(chǎng)的基本方程和邊界條件 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 介質(zhì) 2 介質(zhì) 1 ne?212211221121////t a nt a n?????? ???nnntntDDEEEE 在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)為 0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為 ?????????0EeDenSn ??????????0tSnED ?或 場(chǎng)矢量的折射關(guān)系 導(dǎo)體表面的邊界條件 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 0??? E?由 ?即 靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示， 標(biāo)量函數(shù) 稱為靜電場(chǎng)的標(biāo)量電位或簡稱電位。 1. 電位函數(shù)的定義 ????E? 電位函數(shù) 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 2. 電位的表達(dá)式 對(duì)于連續(xù)的體分布電荷 ， 由 面電荷的電位： 1 ( )( ) d4 Vrr V CR????? ????故得 點(diǎn)電荷的電位： () 4 qrCR? ????()1( ) d4SSrr S CR????? ????()1( ) d4lCrr l CR????? ????]d)1)((41[d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV???????????????????????????????3)1(RRR????線電荷的電位： rrR ??? ???第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 3. 電位差 兩端點(diǎn)乘 ，則有 l?d????E?將 ????? d)( ????????????????? dzzdyydxxldldE ???上式兩邊從點(diǎn) P到點(diǎn) Q沿任意路徑進(jìn)行積分 ， 得 關(guān)于電位差的說明 P、 Q 兩點(diǎn)間的電位差等于電場(chǎng)力將單位正電荷從 P點(diǎn)移至 Q 點(diǎn) 所做的功 ， 電場(chǎng)力使單位正電荷由高電位處移到低電位處； 電位差也稱為電壓 ， 可用 U 表示； 電位差有確定值 ， 只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān) ， 與積分路徑無關(guān) 。 若電荷分布在有限區(qū)域 ， 通常取無 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)； 同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn) 。 dqp ?? ??+q 電偶極子 z o d － q 2r1rr),( ??rP第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 ??ErErrdd ??21 s inCr ?將 和 代入上式， 解得 E線方程為 ?E rE 由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度 )s inc o s2(4 30???? ?eerq r ?? ??)s i n11()( ??????? ?? ????????????? rrrr r eeeE ??????c o s39。 在圓柱面坐標(biāo)系中，取 與 x軸方向一致，即 ，而 ，故 zr e e z? ???00xE e E?0E?????? ? c o sc o sc o s)()( 0000 rEEzeeEerEP zx ??????????? ?????rErdEldEoP PooP ?????? ????????? ?? 000)()( ??rEP ?? ??? 0)(?r??? c o s)( 000 rEErerEP z ???????? ????r?第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 x y z L L ( , , )z??39。由于軸對(duì)稱性，電位與 ? 無關(guān)。 0l?第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 2 2 2 2000222( ) l n l n l n422lll L L L L LrLL??????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?????? 在上式中若令 ，則可得到無限長直線電荷的電位。這時(shí)可在上式中加上一個(gè)任意常數(shù)，則有 L ??002( ) l n2l LrC??? ? ???并選擇有限遠(yuǎn)處為電位參考點(diǎn)。 當(dāng)兩點(diǎn)間距離 ⊿ l→ 0時(shí) ? 若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即 ? 導(dǎo)體表面上電位的邊界條件： 0dlim 21021 ???? ??PPl lE?????Sn DDe ???? )( 21??? ??? ???? ED ??由 和 1?2?媒質(zhì) 2 媒質(zhì) 1 2?1?l?2P1P0?S?nn ????? 1122????常數(shù)， ??Sn ??? ????21 ?? ?Snn ????? ?????? 1122第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 例 兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于 x = 0和 x = a 處，在兩板之間的 x = b 處有一面密度為 的均勻電荷分布，如圖所示。 0S? 解 在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除 x = b 處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程 212d ( ) 0 , ( 0 )dx xbx? ? ? ?222d ( ) 0 , ( )dx b x ax? ? ? ?1 1 12 2 2()()x C x Dx C x D??????方程的解為 o b a x y 兩塊無限大平行板 0S?1()x? 2()x?第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 0110() ,0S baCDa???? ? ?0022 ,SSbbCDa????? ? ?010020()( ) , ( 0 )( ) ( ) , ( )SSabx x x babx a x b x aa??????????≤≤≤≤0110()( ) ( ) SxabE x x ea????? ? ? ? ?1221 1 2 2021000SDC a DC b D C b DCC?????? ? ?? ? ?利用邊界條件，有 xb? 12( ) ( ) ,bb???0210( ) ( ) Sxbxxxx?????????? ? ??????? 處， 最后得 0x? 處， 1 (0 ) 0? ?xa? 2 ( ) 0a? ? 處， 所以 0220( ) ( ) Sx bE x x e a?? ?? ? ? ?由此解得 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 電容器廣泛應(yīng)用于電子設(shè)備的電路中： ? 在電子電路中，利用電容器來實(shí)現(xiàn)濾波、移相、隔直、旁 路、選頻等作用； ? 通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復(fù)雜 電路； ? 在電力系統(tǒng)中，可利用電容器來改善系統(tǒng)的功率因數(shù)，以 減少電能的損失和提高電氣設(shè)備的利用率； 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)儲(chǔ)存電荷能力的物理量。 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 (1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷 +q 和 q ； (2) 計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度 E； 計(jì)算電容的步驟： UqC ? (4) 求比值 ，即得出所求電容。 求此球形電容器的電容。 l?? 解 設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為 和 。應(yīng)用高斯定理和疊加原 理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點(diǎn) P 的電場(chǎng)強(qiáng)度為 l?? Da??011( ) ( )2lxE x e x D x????? ?兩導(dǎo)線間的電位差 故單位長度的電容為 001 F /ml n [ ( ) ] l n ( )lCU D a a D a? ? ? ? ?? ? ??xyzxDaaaDdxxDxrdEUlaDal ??????? ??? ln)11(2 00 ????????第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 例 (自己看） 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a，外導(dǎo)體半徑為為 b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為 ? 的均勻介質(zhì)， 求同軸線單位長度的電容。 21211110 q