【正文】 都儲(chǔ)存著靜電能。 q? /qU（ 4）等效電容 如圖所示，有三個(gè)部分電容 1 1 2 2 1 2C C C、導(dǎo)線 1 和 2 間的等效電容為 11 221 1211 22CCCCCC?? ?導(dǎo)線 1 和大地間的等效電容為 1 2 2 22 1 11 2 2 2CCCCCC?? ?導(dǎo)線 2 和大地間的等效電容為 1 2 1 13 2 21 2 1 1CCCCCC?? ?1 2 12C22C11C大地 大地上空的平行雙導(dǎo)線 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 如果充電過(guò)程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會(huì)有能量輻射，充電過(guò)程中外加電源所作的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量，或者說(shuō)電場(chǎng)能量就等于外加電源在此電場(chǎng)建立過(guò)程中所作的總功。 21211110 qq ?????? 以接地導(dǎo)體為電位參考點(diǎn) ,導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體上的電荷的關(guān)系為 22212120 qq ?????2211002022110010 qbqbqbqaqaqa ?????? ??)( 210 qqq ????三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng) 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 以此類推 （ n+1)個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)只有 n個(gè)電位線性獨(dú)立方程 ，即 nnnknknnnnknkkkkkknnkkqqqqqqqqqqqq?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????22112211112121111)( 210 nk qqqqq ??????? ???? ? ? ? ? ?q???? 電位系數(shù)， 表明各導(dǎo)體電荷對(duì)電位的貢獻(xiàn)； —— 自有電位系數(shù)， 表明導(dǎo)體 上帶 1C正電荷，其它導(dǎo)體不帶電時(shí)，導(dǎo)體 上 的電位。 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 (1) 假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷 +q 和 q ； (2) 計(jì)算兩導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度 E； 計(jì)算電容的步驟： UqC ? (4) 求比值 ，即得出所求電容。 0l?第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 2 2 2 2000222( ) l n l n l n422lll L L L L LrLL??????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?????? 在上式中若令 ，則可得到無(wú)限長(zhǎng)直線電荷的電位。 若電荷分布在有限區(qū)域 ， 通常取無(wú) 限遠(yuǎn)作電位參考點(diǎn)； 同一個(gè)問題只能有一個(gè)參考點(diǎn) 。 4. 電位參考點(diǎn) 為使空間各點(diǎn)電位具有確定值 ， 可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn) ， 且令參考點(diǎn)的電位為零 ， 由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值 ， 所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值 ， 即 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 例 求電偶極子的電位 . 解 在球坐標(biāo)系中 21120210 4)11(4)( rr rrqrrqr ???? ????? ???c o s)2/(c o s)2/(222221rddrrrddrr???????c os22 drr ??用二項(xiàng)式展開，由于 ，得 dr ??,c os21 ?drr ??302020 444c o s)(rrpreprqdr r???????? ????? ?????代入上式，得 表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。當(dāng) 時(shí)，上式可寫為 LR??L ??當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)闊o(wú)窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。 ? ?? 21 d lEU ?? (3) 由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差； 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 解 ： 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為 q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng) 44rr22qqD e , E err? ? ???ababqbaqrdEU ba??????? ????? 4)11(4??同心導(dǎo)體間的電壓 ababUqC?????4球形電容器的電容 aC ??4?當(dāng) 時(shí)， ??bab?o 例 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a、外導(dǎo)體半徑為 b，其間填充介電常數(shù)為 ε的均勻介質(zhì)。 ii,? i i—— 寫成矩陣形式為 （ 非獨(dú)立方程 ） 注： 的值可以通過(guò)給定各導(dǎo)體電荷 ,計(jì)算各導(dǎo)體的電位 而得。 靜電場(chǎng)能量來(lái)源于建立電荷系統(tǒng)的過(guò)程中外源提供的能量 靜電場(chǎng)最基本的特征是對(duì)電荷有作用力，這表明靜電場(chǎng)具有 能量 。靜電能是以電場(chǎng)的形式存在于空間，而不是以電荷或電位的形式存在于空間中的 。 ddi i eF g W? eiiWFg??? 不變 ?eiiWFg???? q不變 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析 由 J＝ ?E 可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場(chǎng)，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷作定向運(yùn)動(dòng)，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)稱為恒定電場(chǎng)。這種求解場(chǎng)的方法稱為比擬法。 ????E?? ?? S SJI ?? dUIG /?? 計(jì)算電導(dǎo)的方法三 ： 靜電比擬法： ???CG第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 例 求同軸電纜的絕緣電阻。4? ? ?? V RVdJA????4矢量合成后，得 zzyyxx JAJAJA 020202 ??? ?????????在直角坐標(biāo)系下， 可以展開為 JA ??02 ????令無(wú)限遠(yuǎn)處 的量值為零（參考磁矢位），類比電位函數(shù)微分方程和解的形式可得 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 磁矢位的表達(dá)式 （ 由磁場(chǎng)表達(dá)式 ） ])(4[ VdRrJV ????? ?????()( ) d4 VJrA r VR??? ?? ?由此可得出 （ 可以證明滿足 ） 0A?? ?第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 磁矢位的邊界條件 對(duì)于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路 ， 磁矢位分別為 ()( ) d4SSJrA r SR??? ?? ?面電流 ： 細(xì)線電流 ： 利用磁矢位計(jì)算磁通量： 12ttAA?0A? ? ? 12nnAA?12AA?12()nSe H H J? ? ?/HA ?? ? ?121211()nSe A A J??? ? ? ? ? ? ?? ?? l R lIdrA?????4)(??? ????????? lSS ldASdASdB ?????? )(0????? ?l S SdBldA ????? ??S SdA 0??第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 解 ：先求長(zhǎng)度為 2L的直線電流的磁矢位。 自感的特點(diǎn)： 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 解 ：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。由于 D a ，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。 當(dāng)電流從 零開始增加時(shí) ， 回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)要阻止電流的增加 ， 因 而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量與自感。 若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。 解的 穩(wěn)定性 是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí) ， 所求得的解是否會(huì)發(fā)生很大的變化 。 q q′ 非均勻感應(yīng)電荷 等效電荷 鏡像法 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷 ， 如圖 。 情況與上例類似 ， 但等效電 荷為線電荷 。 電磁場(chǎng)是客觀存在的 ， 因此位函數(shù)微分方程解的存在確信無(wú)疑 。對(duì)于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為 初始條件 和 邊界條件 ，兩者又統(tǒng)稱為該方程的 定解條件 。此時(shí)，磁場(chǎng)力做功 dA＝ Fidgi，系統(tǒng)的能量增加 dWm。 假定在恒定電流建立過(guò)程中 ， 電流的變化足夠緩慢 ， 沒有輻 射損耗 。 21212 IM?? 3. 互感 同理，回路 C2 對(duì)回路 C1 的互感為 C1 C2 I1 I2 R o 1dl2dl2r1r第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 互感只與回路的幾何形狀 、 尺寸 、 兩回路的相對(duì)位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān) ， 而與電流無(wú)關(guān) 。 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a， 外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì) ， 其半徑為 b， 空氣填充 。則 22()R z z? ?? ? ?ddzI l e I z???( , , )Pz??0221( ) d4 ()Lz LIA r e zzz?? ????? ????220 l n [ ( ) ]4LzLIe z z z z? ?? ???? ? ? ? ?22022( ) ( )ln4 ( ) ( )zz L z LIez L z L??? ?? ? ? ??? ? ? ? 例 求無(wú)限長(zhǎng)線電流 I 的磁矢位 ， 設(shè)電流沿 +z方向流動(dòng) 。 解 ：一 直接用恒定電場(chǎng)的計(jì)算方法 電導(dǎo) )/ln (2ablUIG ????絕緣電阻 labGR ??2)/ln (1 ??? ? ???? ba ablIlIlEU ln2d2d ????????l? ?b a則 IlIJ??2? ???? lIJE2??設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為 I。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓 U 時(shí)，必定會(huì)有微小的漏電流 J 存在。 （ 2）恒定電場(chǎng)中有電場(chǎng)能量的損耗 ,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來(lái)不斷補(bǔ)充被損耗的電場(chǎng)能量。 52024206220 20220 154)d49d49(21 arrrarrraa ?????????? ????? ?? ?10()3r rE e r a???? 解 ： 方法一 ， 利用 計(jì)算 ? ?? Ve VEDW d21 ?? 根據(jù)高斯定理求得電場(chǎng)強(qiáng)度 32 20()3r aE e r ar????故 VEVEVEDW VVVe d21d21d2121220210 ??? ???? ????第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 )()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEar aara????????? ? ???????????????? 方法二 ： 利用 計(jì)算 ?? Ve VW d21 ?? 先求出電位分布 故 5202022021 154d4)3(221d21 arrraVW aVe???????? ????? ??第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 已知帶電體的電荷分布 ， 原則上 ， 根據(jù)庫(kù)侖定律可以計(jì)算帶電體電荷之間的電場(chǎng)力 。在此過(guò)程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。 ? ? qi,jj,i ?? ?第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解