【正文】 a ?????????? ????? ?? ?10()3r rE e r a???? 解 ： 方法一 ， 利用 計(jì)算 ? ?? Ve VEDW d21 ?? 根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度 32 20()3r aE e r ar????故 VEVEVEDW VVVe d21d21d2121220210 ??? ???? ????第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 )()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEar aara????????? ? ???????????????? 方法二 ： 利用 計(jì)算 ?? Ve VW d21 ?? 先求出電位分布 故 5202022021 154d4)3(221d21 arrraVW aVe???????? ????? ??第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 已知帶電體的電荷分布 ， 原則上 ， 根據(jù)庫侖定律可以計(jì)算帶電體電荷之間的電場力 。靜電能是以電場的形式存在于空間，而不是以電荷或電位的形式存在于空間中的 。 外源對 n個(gè)帶電體作功為 n21 ??? ,..., n21 q,...,q,q)1( ???iq? i??)( iqd ? )( ii qd ???因而，電場能量的增量為 ???? ??dqdW iniie1第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 在整個(gè)過程中，電場的儲能為 ( 1 )211101 iniiiniiee qdqdWW ??????? ??????2) 電荷連續(xù)分布帶電體系統(tǒng)的靜電能量 對于電荷連續(xù)分布帶電體，將其分割成一系列體積元 ，假定某一時(shí)刻帶電體的電勢為 ，此時(shí)外力將無限遠(yuǎn)處一電荷增量 移動到該處，則外力做總功 （系統(tǒng)靜電能量） 為： dV)(r? dVr)(?dVrrW Ve )()(21 ????同理，對于面電荷和線電荷分布系統(tǒng)的電場能量分別為： dlrrWdSrrWlleSSe)()(21)()(21????????第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 ??????????????njijijnienjijijnieWqqW1111)]([21)]([21CqCUqUWe 22121 22 ???式（ 1）對于靜電獨(dú)立系統(tǒng)也同樣適用： 如，電容器極板帶電 q，電壓 U，則電容器儲能為： 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? VrErDVrErDSrDrVrrDVrDrWVVSVVed21d21d21d21d21???????????????????????????? ][2 靜電場能量密度 ? ? ? ? VWVe d21 rr ????利用關(guān)系式 ???? D?和 ? ? ? ?rrE ?????? ? ? ? ? ? ? ? VrrDVrrWVVe d21d21 ??? ?? ???? ?能量密度函數(shù) 兩者都可作為靜電場能量計(jì)算公式但意義不同 能否作為能 量密度函數(shù) 由矢量恒等式 ??????????? DDD ??? )(上式第一項(xiàng) rdSrDrrdS,rD,r111 22 ?????? )]()([???靜電場能量既可以通過電荷的分布計(jì)算，也可以通過電場計(jì)算，但能量密度函數(shù)只能表示為電場的函數(shù)。 1) 帶電體群系統(tǒng)的靜電能量 1 帶電系統(tǒng)中的靜電能量 ???? ??dqdA inii1 設(shè)每個(gè)帶電體的最終電位為 ， 最終電荷為 。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。 靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量 靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有 能量 。 ab0? o第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 設(shè)導(dǎo)體球帶電量為 0 ，球殼帶電量為 1C ，由高斯定理，當(dāng) bra時(shí)，電場為 0，rb時(shí)， b,bbrderrdEbrderrdrdEerEbrbba brar02201222020212020120414141414141041?????????????????????????????????????????? ?????????????????2）電容系數(shù) 電容系數(shù)矩陣為電位系數(shù)矩陣的逆矩陣 abbabababab????????202202112022 4,4,4 ??????????3）部分電容 ababCC????????021122112 4 ????kjkjC ???????njkjkkC1?? bCC 0222122121111 40 ?????? ???????第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，把其中任意兩個(gè)導(dǎo)體作為電容器的兩個(gè)電極，設(shè)在這兩個(gè)電極間加上電壓 U，極板上所帶電荷分別為 ，則比值 稱為這兩個(gè)導(dǎo)體間的等效電容。？？？ ?所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的 值有關(guān)； ?第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 解： 1） 先求電位系數(shù) ，設(shè)導(dǎo)體球帶電量為 1C，球殼帶電量為 0，取無限遠(yuǎn)處為電勢 0點(diǎn)，由高斯定理，當(dāng) ra時(shí)， b,abrderrdEarderrdEerEbrbarar0210112102021102012041414141414141???????????????????????????????????????????????????????例 ：同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a、外導(dǎo)體半徑為 b。 ? ? qi,jj,i ?? ?第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 3) 部分電容 02211 kkkknknkkkk UCUCUCUC ???? ?? ? ? ?? ?UCq ? （矩陣形式） 式中： C—— 部分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)； kjkjC ???（互有部分電容）； ??? njkjkkC1? （自有部分電容）。 ii,? i i—— 寫成矩陣形式為 （ 非獨(dú)立方程 ） 注： 的值可以通過給定各導(dǎo)體電荷 ,計(jì)算各導(dǎo)體的電位 而得。 () 2 lEe ? ?? ? ???內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差 l?? l?? 解 設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為 和 ，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度為 故得同軸線單位長度的電容為 12 F /ml n ( / )lCU b a? ?????a b同軸線 l n( / )2 l ba??????????? ddEU balba ?? ??? 12)( ??第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 ? 靜電獨(dú)立系統(tǒng) —— D線從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)中 的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即 2 多導(dǎo)體系統(tǒng)、部分電容 1) 電位系數(shù) ??? ?11 0nK Kq .? 線性、多導(dǎo)體 (三個(gè)以上導(dǎo)體 ) 組成的系統(tǒng)； ? 部分電容概念 多導(dǎo)體系統(tǒng)中，一個(gè)導(dǎo)體在其余導(dǎo)體影響下與另一個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成的電容。由于 ，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩 導(dǎo)線的表面上。 孤立導(dǎo)體球的電容 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 例 如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為 a，兩導(dǎo)線的軸線距離為 D，且 D a，求傳輸線單位長度的電容。 ? ?? 21 d lEU ?? (3) 由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差； 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 解 ： 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為 q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場 44rr22qqD e , E err? ? ???ababqbaqrdEU ba??????? ????? 4)11(4??同心導(dǎo)體間的電壓 ababUqC?????4球形電容器的電容 aC ??4?當(dāng) 時(shí)， ??bab?o 例 同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a、外導(dǎo)體半徑為 b，其間填充介電常數(shù)為 ε的均勻介質(zhì)。 孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量 q與其電位 ? 的比值，即 ?qC ?1. 電容 孤立導(dǎo)體的電容 兩個(gè)帶等量異號電荷（ ?q） 的導(dǎo) 體組成的電容器，其電容為 12qqCU ???? ? 電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì) 的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。例如，選擇 ρ= a 的點(diǎn)為電位參 考點(diǎn)，則有 002ln2l LCa?????00( ) l n2 l ar ?? ? ? ??第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 在均勻介質(zhì)中，有 5. 電位的微分方程 ??? ??? 2在無源區(qū)域， 0?????????????????????EED???02 ?? ?標(biāo)量泊松方程 拉普拉斯方程 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 6. 靜電位的邊界條件 設(shè) P1和 P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn) ， 其電位分別為 ?1和 ?2。當(dāng) 時(shí)，上式可寫為 LR??L ??當(dāng) 時(shí)，上式變?yōu)闊o窮大，這是因?yàn)殡姾刹皇欠植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，而將電位參考點(diǎn)選在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)之故。 在帶電線上位于 處的線元 ，它 到點(diǎn) 的距離 ， 則 22()R z z? ?? ? ?ddlz???( , , )Pz??02201( ) d4 ()LlLrzzz???? ????? ????2200l n [ ( ) ]4LlLz z z z? ??????? ? ? ? ?220220( ) ( )ln4 ( ) ( )l z L z Lz L z L???? ?? ? ? ??? ? ? ? 例 求長度為 2L、電荷線密度為 的均勻帶電線的電位。z ddlz???Rz? 解 采用圓柱面坐標(biāo)系，令線電荷與 z 軸相重合，中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。2 Cr ?Crp ?204c os???等位線 電場線 電偶極子的場圖 電場線微分方程 ： 等位線方程 ： 0?? ldE ??第 3章