【正文】 ll?? ? ? ??證明沿 方向的方向?qū)?shù) 最大，且 Gma xGl?? ??l???x y zG e e ex y z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?已知： 0c os ( , ) 1Gl ?ma xGl?? ??與 方向一致，且 Gl167。 標(biāo)量場方向?qū)?shù) 167。 標(biāo)量場方向?qū)?shù) 證明： M點的坐標(biāo)為 M(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)，由于函 數(shù) φ在 M0處可微，故 0( ) ( )M M x y zx y z? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?兩邊除以 ρ，可得 x y zx y z? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?當(dāng) ρ趨于零時對上式取極限，可得 c o s c o s c o sl x y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?c o s c o s c o sx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?167。 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度 167。 2 2 2x y zA x y e x y e zy e? ? ?167。 其等值面方程為 2( ) 0x y z? ? ?2()z x y??或 ： 167。 場的概念 例 11 求數(shù)量場 φ=(x+y)2z 通過點 M(1, 0, 1) 的等值面方程 。 場的概念 矢量線的作用 1 根據(jù)矢量線確定矢量場中各點矢量的 方向 2 根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判別出各處矢量的 大小及變化趨勢 。如靜電場的電力線等。 等高線作用 1 根據(jù)等高線及其所標(biāo)出的高度，了解該地區(qū)高度 2 根據(jù)等高線的疏密程度可以判斷該地區(qū)各個方向上地勢的陡度 A點高 300 B點高 300 A點比 B點陡 越密就越陡 AB167。等值線方程： ( , , )x y z c on st? ?( , )x y c onst? ?167。等值面方程： 》 等值線圖表示： 等值面在二維空間稱為等值線。 場的概念 標(biāo)量場的等值面和矢量場的矢量線 場的 場圖 表示 研究標(biāo)量場和矢量場時，用“場圖”表示場變量在空間逐點演變的情況具有很大的意義。 場的概念 例： 已知： 4 3 23 2 12 1 1A???????????求 A1 解： 1121 111A ??| | 4 3 2 1A ? ? ? ? ?1231 121A ? ? ? ? 1332 121A ? ? ?2132 111A ? ? ? ? 2242 021A ?? 2343 221A ? ? ?3132 121A ? ? ? 3242 231A ? ? ? 3343 132A ? ? ?11 21 311*12 22 3213 23 331 1 1 1 1 111 0 2 1 0 2||1 2 1 1 2 1A A AA A A A AAA A A?? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???167。 場的概念 ? 方程組的矩陣表示 1 11 1 12 2 12 21 1 22 2 21 1 2 2............nnnnn n n n n ny a x a x a xy a x a x a xy a x a x a x? ? ???? ? ????? ? ? ??11 12 121 22 212......... ......nnn n n na a aa a aAa a a?????????12nxxXx?????????????12nyyYy?????????????設(shè)矩陣 可記為 Y=AX 則 X=A1Y， A1為 A的逆矩陣， 要求 X， 只需求 A1，即求 A的逆矩陣 167。 場的概念 ? n階行列式的計算： 等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和，即 ijAa?1( 1 , 2 , )nij ijjA a A i n????1( 1 , 2 , )nij ijiA a A j n????例： 求 x y zx y zx y ze e eA B A A AB B B??1 1 1 2 1 3( 1 ) ( 1 ) ( 1 )y z x yxzx y zxzy z x yA A A AAAe e eBBB B B B? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )x y z z y y z x x z z x y y xe A B A B e A B A B e A B A B? ? ? ? ? ?167。 場的概念 數(shù)學(xué)知識補充 — 矩陣和行列式的計算 1 1 1 3322 1 2 3aaMaa?1 1 1 3323 2 3 22 1 2 3( 1 ) aaAM aa?? ? ? ?ija ijaijA ( 1 ) ijij ijAM ???( 1)ij??? 代數(shù)余子式： 的余子式前添加符號 ，稱 的代數(shù)余子式，記為 ， 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a32a例：求 中元素 的余子式和代數(shù)余子式 ijAa? ijaijaijM? 余子式： 在 n 階行列式 中去掉元素 所在的行和列，剩下的 n1 階行列式稱為元素 的余子式。 場的概念 P(x, y, z) x y zr e x e y e z? ? ?結(jié)論： 若兩不為零矢量的點積為零，則兩矢量互相垂直 數(shù)學(xué)知識補充 —— 矢量的代數(shù)運算 ? 求和差 》 作圖法： 平行四邊形法則 》 分量法： ? 求點積 （標(biāo)量積、內(nèi)積） 公式： 特點： 直角坐標(biāo)系中： ( ) ( ) ( )x x x y y y z z zA B e A B e A B e A B? ? ? ? ? ? ?c osA B A B ??? A B B A???0x y y z x ze e e e e e? ? ? ? ? ? 1x x y y z ze e e e e e? ? ? ? ? ?167。 場的概念 ,x y ze e e0x x y y z zA e A e A e A? ? ?? ? 12222x y zA A A A? ? ?? 任一矢量可以表示為： r? 位置矢量： 從原點指向空間任一點 P的矢量 位置矢量能夠由它在三個相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定。 場的概念 矢量代數(shù) ? 空矢或零矢： 一個大小為零的矢量 ? 單位矢量： 一個大小為 1的矢量，在直角坐標(biāo)系中，用單位矢量表征矢量分別沿 x， y， z軸分量的方向。 167。 ? 矢量場： 在指定的時刻，空間每一點可以用一個矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定義一個矢量場。 ? 標(biāo)量場： 在指定的時刻，空間每一點可以用一個標(biāo)量唯一地描述，則該標(biāo)量函數(shù)定義一個標(biāo)量場。如電壓 U、電荷量 Q等。 》 常矢： 若某一矢量的模和方向都保持不變，如重力 》 變矢： 若模和方向二者至少一個發(fā)生變化，如彎道速度 》 矢量描述： 矢量可采用有向線段、文字、 單位矢量、分量表示等多種方式來描述。 ? 矢量： 具有大小和方向特征的量。 場的概念 ? 標(biāo)量： 只有大小而沒有方向的量。 亥姆霍茲定理 本章要點 》 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度 》 矢量場的通量和散度 》 矢量場的環(huán)量和旋度 》 亥姆霍茲定理 167。 矢量場的環(huán)量和旋度 167。 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度 167。 F117A (第 1種可正式作戰(zhàn)的隱形飛機 ) 第一章 矢量分析 167。這樣飛機就不容易被雷達(dá)探測到。 ? 隱形飛機原理： 使雷達(dá)無法探測到。物體把這個電磁波向各個方向反射，當(dāng)然也有一部分反射回發(fā)射點（雷達(dá)），在雷達(dá)處再設(shè)一個接收裝置就可接收到回波。 ? 內(nèi)加熱特點： 加熱速度快、受熱體系溫度均勻等特點。 ? 電磁爐的熱效率極高，煮食時安全、潔凈、無火、無煙、無廢氣、不怕風(fēng)吹、不會爆炸或引致氣體中毒。 ? 爐面不發(fā)熱，當(dāng)磁場內(nèi)的磁力線通過非金屬物休，不會產(chǎn)生渦流，故不會產(chǎn)生熱力。 電磁爐 加熱原理： 采用磁場感應(yīng)電流 (渦流 )加熱，利用電流通過線圈產(chǎn)生磁場，當(dāng)磁場內(nèi)的磁力線通過金屬器皿的底部時即會產(chǎn)生無數(shù)小渦流，使器皿本身自行高速發(fā)熱，然后再加熱于器皿內(nèi)的食物。 ? 1984年 4月 成功發(fā)射第一顆同步衛(wèi)星“東方紅二號”。 ? 衛(wèi)星通信 是二戰(zhàn)之后發(fā)展起來的一種先進(jìn)的無線通信技術(shù)。 ? 通信地球站： 可以是地面站、車載站、機載站 ? 地球站的天線 要始終對準(zhǔn)衛(wèi)星才能利用衛(wèi)星進(jìn)行通信，所以我們通常使用靜止衛(wèi)星，也即同步衛(wèi)星。 如：無線通信、廣播、雷達(dá)、遙控遙測、微波遙感、無線因特網(wǎng)、無線局域網(wǎng)、衛(wèi)星定位以及光纖通信等信息技術(shù) 應(yīng)用的三個主要方面 應(yīng)用的各個領(lǐng)域 電磁理論 電子對抗 無線通信 廣播、電視 雷達(dá)、導(dǎo)航、