【正文】 167。 球面坐標(biāo)系 167。 球面坐標(biāo)系 了解 直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系 直角坐標(biāo)系 ?球坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系 ?直角坐標(biāo)系 ?????????????????????????????????zyxreeeeee??????0c o ss i ns i ns i nc o sc o sc o sc o ss i ns i nc o ss i n?????????????????????????????????????????????????????????????eeeeee rzyx??????0s i nc o sc o ss i nc o ss i ns i ns i nc o sc o sc o ss i n167。 圓柱坐標(biāo)系 167。 圓柱坐標(biāo)系 ????????zzyx????s i nc o s 002z???? ? ???? ? ? ? ?zeee??? ????zezer??? ????c os sin( sin ) c osxyxyzze e ee e eee????????? ? ?? 理解 直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系 》 直角坐標(biāo)系 ?圓柱坐標(biāo)系 》 圓柱坐標(biāo)系 ?直角坐標(biāo)系 ????????????????????????????????zyxz eeeeee??????1000c o ss i n0s i nc o s?????????????????????????? ????????????zzyxeeeeee????????????1000c o ss i n0s i nc o s167。 例 111的另一種解法 167。 的方向與 的方向成右手螺旋關(guān)系。 矢量場的旋度 167。 ( ) ( ) ( )x y zA x z y e y x z e z y z e? ? ? ? ? ?2 6 3x y zn e e e? ? ?( ) ( ) ( )x y zeeeAx y zx z y y x z z y x? ? ?? ? ????? ? ?( ) ( ) ( )x y zz y e x z e y x e? ? ? ? ? ?在點(diǎn) M(1， 0， 1)處的 旋度 2x y zMA e e e? ? ? ? ?02 2 2( 2 6 3 ) 2 6 37 7 72 6 3x y zx y ze e en e e e??? ? ? ???環(huán)量面密度 方向的單位矢量 n0 2 6 3 1 727 7 7 7MAn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?167。 矢量場的旋度 2( ) ( ) ( )()()()( ) 0( ) 0()A B C B C A C A BA B A BA A AA B B A A BAA A A? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 222 2 22 2 2 2x x y y z zx y zA A e A e A e? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?旋度的運(yùn)算規(guī)則 直角坐標(biāo)系中 ▽ 2為拉普拉斯算子 167。 n?n?》 矢量場在 P點(diǎn)處沿任一方向 的環(huán)量面密度為旋度 在 方向上的投影。 二、旋度的定義（矢量） m ax0lim cSA d lr o t A nS???? ??????旋度大?。?最大環(huán)量面密度的數(shù)值 旋度方向： 環(huán)量面密度最大時(shí)的面元的方向 AAr o t ?? ???引入哈密爾頓算子 在直角坐標(biāo)系中 x y zx y ze e eAx y zA A A? ? ?? ? ?? ? ?yyzz xxx y zAAAA AAe e ey z z x x y??? ? ? ??? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?167。 面元的方向： 面元的方向與閉合曲線 c 的繞行方向成右手螺旋關(guān)系。 矢量場的環(huán)量 167。 矢量場的環(huán)量（標(biāo)量） (circulation) 環(huán)量的定義： ? ????? c c dlAldA ?c os??結(jié)論： 》 矢量的環(huán)量也是一個(gè)標(biāo)量 》 矢量的環(huán)量不等于零，則閉合曲線內(nèi)必有旋渦源 》 矢量的環(huán)量等于零，則閉合曲線內(nèi)沒有旋渦源 例如： 在磁場中，在環(huán)繞電流的閉合曲線上的環(huán)量不 等于零，其電流就是產(chǎn)生磁場的旋渦源 環(huán)量的性質(zhì)： 積分量，反映旋渦源總的分布特性 解： 由于在曲線 l上 z=0，所以 dz=0。 散度定理 167。因此有： ?? ? ???? Sni Si SdASdAi????1? ? ??????????Sni Vi dVAVASdA1)( ????167。由散度定義有： VSdAA SV ????? ??????0l i m可得： )~()( niVASdA iS ii?????? ???由于相鄰體積元有一個(gè)公共表面，兩體積元在公共 表面上的通量 等值異號 ，求和時(shí)互相抵消。 散度定理（高斯散度定理） 散度定理： 矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量。 02344qqD r rrr????D解： 3 3 34 x y zq x y zD e e er r r???? ? ?????3 3 3,4 4 4x y zq x q y q zD D Dr r r? ? ?? ? ?y zx D DDd iv D Dx y z? ??? ? ? ? ? ?? ? ?2 2 2 253 3 ( ) 04q r x y zr?? ? ???22534xD q r xx r?? ???22534yD q r yy r?? ???22534zD q r zz r?? ???靜電場的性質(zhì)： r=0以 外空間均為無源場 167。 》 散度值表征空間中通量源的密度 — 通量密度 0d ivA ? 有源點(diǎn) 匯點(diǎn) 0d ivA ? 無源點(diǎn) 0d ivA ?若 矢量場為無散場 0d ivA ?散度的計(jì)算： 在直角坐標(biāo)系下： ()x y z x x y y z ze e e A e A e A ex y z??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???y zx A AAd iv Ax y z? ??? ? ?? ? ?A??哈密爾頓算子 ▽ A??散度符合規(guī)則： ()A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ?() A A A? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?167。 矢量場的通量 167。 矢量場的通量和散度 167。 標(biāo)量場的梯度 1 ()x y zg r a d r r x e y e z er? ? ? ? ?點(diǎn) M處的坐標(biāo)為 x=1, y=0, z=1, 且 2 2 2 2r x y z? ? ? ?1122xzg r a d r r e e? ? ? ?r在 M點(diǎn)沿 l方向的方向?qū)?shù)為 0Mr rll? ? ? ??解： r的梯度為 例 15 求 r在 M(1,0,1)處沿 22x y zl e e e? ? ?而 0 1 2 23 3 3x y zll e e el? ? ? ?所以 1 1 2 1 2 103 3 32 2 2Mrl? ? ? ? ? ? ? ??所以 r在 M點(diǎn)的梯度為 167。 ( ) [ ( ) ] 39。 》 任一點(diǎn)梯度的模等于該點(diǎn)各方向上方向?qū)?shù)最大值 167。即梯度為該等值面的法向矢量。 ()M?()M?()M?G()grad M?方向： 函數(shù) 在 M點(diǎn)處變化率最大的方向 ()M?||G大?。?最大變化率的矢量的模 c o s c o s c o sl x y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?在直角坐標(biāo)系中，令 x y zG e e ex y z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?已知： 證明： 標(biāo)量場 在任意方向 l上的方向?qū)?shù)為 ()M?0 c o s c o s c o sx y zl e e e? ? ?? ? ?00c o s ( , )G l G G