【正文】 問題：這種等效電荷是否存在 ？ 這種等效是否合理 ？ 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 2. 鏡像法的概念 在一定條件下，可。 情況與上例類似 ， 但等效電 荷為線電荷 。 q q′ 非均勻感應(yīng)電荷 等效電荷 鏡像法 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷 ， 如圖 。 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí) ， 導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷 ， 而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布 。鏡像法就是唯一性定理的直接應(yīng)用。 電磁場是客觀存在的 ， 因此位函數(shù)微分方程解的存在確信無疑 。 解的 穩(wěn)定性 是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí) ， 所求得的解是否會發(fā)生很大的變化 。 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 惟一性定理 惟一性定理的重要意義 對于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的 存在 、 穩(wěn)定 及 唯一性 問題 。 根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的 位函數(shù) 就是 靜態(tài)場的邊值問題。對于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為 初始條件 和 邊界條件 ，兩者又統(tǒng)稱為該方程的 定解條件 。 若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。此時(shí)，外接電源必然要做功來克服感應(yīng)電動勢以保持各回路中電流不變。 具體計(jì)算過程中，可假定各回路電流維持不變，或假定與各回路交鏈的磁通維持不變。此時(shí)，磁場力做功 dA＝ Fidgi，系統(tǒng)的能量增加 dWm。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。 磁場能量密度： 磁場的總能量： 積分區(qū)域?yàn)殡妶鏊诘恼麄€(gè)空間 對于線性 、 各向同性介質(zhì) ， 則有 12mw B H??1 d2m VW B H V???21 1 12 2 2mw B H H H H??? ? ? ? ?21 1 1d d d2 2 2m V V VW B H V H H V H V??? ? ? ? ?? ? ?第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面 S無限擴(kuò)大時(shí)，則有 故 推證： JH? ? ? ? ? HAAHHA ?????? ???????????RS J0J ?1 [ ( ) ] d2 V A H A H V? ? ? ? ? ? ? ???? ????? SV SdHAdVHB ????? )(2121?? ?????? SV SdHAdVHA ????? )()(0)1(~)11(~)( 2 ????? ? RodSRRoSdHAS S???BA? ? ??? ?????? VVm dVAHdVAJW ???? )(2121)1(~)。 在時(shí)刻 t 的電流為 i =αI、磁鏈為 ψ =α? 。 假定在恒定電流建立過程中 ， 電流的變化足夠緩慢 ， 沒有輻 射損耗 。 當(dāng)電流從 零開始增加時(shí) ， 回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加 ， 因 而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢 。 電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運(yùn)動 ， 表明恒定 磁場具有能量 。 互感的特點(diǎn)： 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 4. 紐曼公式 如圖所示的兩個(gè) 回路 C1和回路 C2 ， 回路 C1中的電流 I1在回路 C2上的任一點(diǎn) 產(chǎn)生的矢量磁位 ? ?? ????? 2 12 12102121 4d C CC R ldldIlA??????回路 C1中的電流 I1產(chǎn)生的磁場與回路 C2交鏈的磁鏈為 C1 C2 I1 I2 R o 1dl2dl2r1r故得 同理 紐曼公式 ? ? ?? 2 1 12021 4 C C R ldldM????? ? ?? 1 2 21012 4 C C R ldldM????? ? ???? 1 2 2101221 4 C C R ldldMMM?????? 1 11021 4)( C RldIrA?????第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 02IBe?????由圖中可知 [ ( ) ] t a n ( 3 ) 3 [ ( ) ]z b d b d? ? ?? ? ? ? ? ?長直導(dǎo)線與三角形回路 I ?dz?60bddSz??穿過三角形回路面積的磁通為 解 設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為 I， 根據(jù) 安培環(huán)路定律，得到 例 如圖所示，長直導(dǎo)線與三角 形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。 21212 IM?? 3. 互感 同理，回路 C2 對回路 C1 的互感為 C1 C2 I1 I2 R o 1dl2dl2r1r第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 互感只與回路的幾何形狀 、 尺寸 、 兩回路的相對位置以及周圍 磁介質(zhì)有關(guān) ， 而與電流無關(guān) 。由于 D a ，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ0 。 00d d l n22boo aII ba??? ? ?? ? ?? ? ???00 ln82iobL L La????? ? ? ????20 IB ? 0dd2ooI d?? ? ?????則 0 ln2oobLIa?????故單位長度的外自感為 單位長度的總自感為 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 例 計(jì)算平行雙線傳輸線單位長度的自感。 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a， 外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì) ， 其半徑為 b， 空氣填充 。 自感的特點(diǎn)： 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 解 ：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。 ?i C I ?o 粗回路 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 設(shè)回路 C中的電流為 I，所產(chǎn)生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈為?，則磁鏈 ? 與回路 C 中的電流 I 有正比關(guān)系，其比值 IL??稱為回路 C 的自感系數(shù)，簡稱自感。zddzI l e I z???R第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 2. 恒定磁場的標(biāo)量磁位 一般情況下 ， 恒定磁場只能引入磁矢位來描述 ， 但在無傳導(dǎo)電流 （ J＝ 0） 的空間中 ， 則有 即在無傳導(dǎo)電流 （ J＝ 0） 的空間中 ， 可以引入一個(gè) 標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場 。則 22()R z z? ?? ? ?ddzI l e I z???( , , )Pz??0221( ) d4 ()Lz LIA r e zzz?? ????? ????220 l n [ ( ) ]4LzLIe z z z z? ?? ???? ? ? ? ?22022( ) ( )ln4 ( ) ( )zz L z LIez L z L??? ?? ? ? ??? ? ? ? 例 求無限長線電流 I 的磁矢位 ， 設(shè)電流沿 +z方向流動 。4? ? ?? V RVdJA????4矢量合成后，得 zzyyxx JAJAJA 020202 ??? ?????????在直角坐標(biāo)系下， 可以展開為 JA ??02 ????令無限遠(yuǎn)處 的量值為零（參考磁矢位），類比電位函數(shù)微分方程和解的形式可得 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 磁矢位的表達(dá)式 （ 由磁場表達(dá)式 ） ])(4[ VdRrJV ????? ?????()( ) d4 VJrA r VR??? ?? ?由此可得出 （ 可以證明滿足 ） 0A?? ?第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 磁矢位的邊界條件 對于面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路 ， 磁矢位分別為 ()( ) d4SSJrA r SR??? ?? ?面電流 ： 細(xì)線電流 ： 利用磁矢位計(jì)算磁通量： 12ttAA?0A? ? ? 12nnAA?12AA?12()nSe H H J? ? ?/HA ?? ? ?121211()nSe A A J??? ? ? ? ? ? ?? ?? l R lIdrA?????4)(??? ????????? lSS ldASdASdB ?????? )(0????? ?l S SdBldA ????? ??S SdA 0??第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 解 ：先求長度為 2L的直線電流的磁矢位。 0A?? ?()A A A??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1. 恒定磁場的矢量磁位 矢量磁位或稱磁矢位 恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 磁矢位的微分方程 在無源區(qū)： AB ?? ???0A? ? ?0J ?JA ?? ???? 202 ?? A?矢量泊松方程 矢量拉普拉斯方程 AJ?? ? ? ? ? 2() A A J?? ? ? ? ? ?JH ?? ???? ?? ? ?? ?????? V V zzyyV xx R VdJAR VdJAR VdJA ?????? 4。 磁矢位的任意性是因?yàn)橹灰?guī)定了它的旋度 ， 沒有規(guī)定其散度造成的 。 解 ：一 直接用恒定電場的計(jì)算方法 電導(dǎo) )/ln (2ablUIG ????絕緣電阻 labGR ??2)/ln (1 ??? ? ???? ba ablIlIlEU ln2d2d ????????l? ?b a則 IlIJ??2? ???? lIJE2??設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為 I。 ????E?? ?? S SJI ?? dUIG /?? 計(jì)算電導(dǎo)的方法三 ： 靜電比擬法： ???CG第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 例 求同軸電纜的絕緣電阻。 (4) 由 J = ? E 得到 J。 (4) 由 ，求出兩導(dǎo) 體間的電位差； (5) 求比值 ，即得出 所求電導(dǎo)。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓 U 時(shí)，必定會有微小的漏電流 J 存在。這種求解場的方法稱為比擬法。 2121ta nta n???? ?第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 恒定電場與靜電場的比擬 如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題。 ， 則 ?1＝ 0， 即電場線近似垂直于與良導(dǎo)體表面 。 （ 2）恒定電場中有電場能量的損耗 ,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。 ddi i eF g W? eiiWFg??? 不變 ?eiiWFg???? q不變 第 3章 靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解 電磁場與電磁波 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析 由 J＝ ?E 可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運(yùn)動，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時(shí)間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。 具體計(jì)算中，可假定各帶電導(dǎo)體的電位不變，或假定各帶電導(dǎo)體的電荷不變。 虛位移法 ： 假設(shè)第 i個(gè)帶電 導(dǎo)體在電場力 Fi的作用下發(fā)生位移dgi，則電場力做功 dA＝ Fidgi，系統(tǒng)的靜電能量改變?yōu)?dWe。 52024206220 20220 154)d49d49(21 arrrarrra