【正文】 ????回路 C1中的電流 I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路 C2交鏈的磁鏈為 C1 C2 I1 I2 R o 1dl2dl2r1r故得 同理 紐曼公式 ? ? ?? 2 1 12021 4 C C R ldldM????? ? ?? 1 2 21012 4 C C R ldldM????? ? ???? 1 2 2101221 4 C C R ldldMMM?????? 1 11021 4)( C RldIrA?????第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 02IBe?????由圖中可知 [ ( ) ] t a n ( 3 ) 3 [ ( ) ]z b d b d? ? ?? ? ? ? ? ?長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形回路 I ?dz?60bddSz??穿過三角形回路面積的磁通為 解 設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線中的電流為 I， 根據(jù) 安培環(huán)路定律，得到 例 如圖所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角 形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。 ?? ????? bddS dzISdB ????2 0??第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 03 1 [ ( ) ] d2dbdI bd?? ? ????? ? ??03 [ ( ) l n ( 1 ) ]2I bb d bd??? ? ? ?03 [ ( ) l n ( 1 ) ]2I bM b d bId???? ? ? ? ?因此 故長(zhǎng)直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 恒定磁場(chǎng)的能量（不講） 1. 磁場(chǎng)能量 在恒定磁場(chǎng)建立過程中，電源克服感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)作功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場(chǎng)能量。 電流回路在恒定磁場(chǎng)中受到磁場(chǎng)力的作用而運(yùn)動(dòng) ， 表明恒定 磁場(chǎng)具有能量 。 磁場(chǎng)能量是在建立電流的過程中 ， 由電源供給的 。 當(dāng)電流從 零開始增加時(shí) ， 回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)要阻止電流的增加 ， 因 而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 。 假定建立并維持恒定電流時(shí) ， 沒有熱損耗 。 假定在恒定電流建立過程中 ， 電流的變化足夠緩慢 ， 沒有輻 射損耗 。 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為 I 、交鏈的磁鏈為 ?。 在時(shí)刻 t 的電流為 i =αI、磁鏈為 ψ =α? 。 (0≤α≤1) 根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流 為 I 的載流回路具有的磁場(chǎng)能量 Wm，即 對(duì) α從 0 到 1 積分，即得到外電源所做的總功為 外加電壓應(yīng)為 所做的功 101dd2W W I I? ? ? ?? ? ???當(dāng) α增加為 (α+ dα)時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) : 2212121 LIldAIIWCm ????? ???dtdiψ???dtduiψ??? ???? dIψψ ???? idi d tdtdudqdW第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 對(duì)于多個(gè)載流回路，則有 對(duì)于體分布電流，則有 1 d2m VW J A V???例如，兩個(gè)電流回路 C1和回路 C2 回路 C2的自有能 回路 C1的自有能 C1和 C2的互能 ??? ?????? jCjjNjjNjjjm ldAIIW??11 2121121 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 21 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2221 1 2 2 1 211( ) d ( ) d221 1 1 12 2 2 21122m CCW A A I l A A I lI I I IL I L I M I I? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? 22221212111122222111121121212121)(21)(2121?????????????? ??IIIIldIAAldIAAWCCm??????第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 2. 磁場(chǎng)能量密度 從場(chǎng)的觀點(diǎn)來看，磁場(chǎng)能量分布于磁場(chǎng)所在的整個(gè)空間。 磁場(chǎng)能量密度： 磁場(chǎng)的總能量： 積分區(qū)域?yàn)殡妶?chǎng)所在的整個(gè)空間 對(duì)于線性 、 各向同性介質(zhì) ， 則有 12mw B H??1 d2m VW B H V???21 1 12 2 2mw B H H H H??? ? ? ? ?21 1 1d d d2 2 2m V V VW B H V H H V H V??? ? ? ? ?? ? ?第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 若電流分布在有限區(qū)域內(nèi)，當(dāng)閉合面 S無限擴(kuò)大時(shí)，則有 故 推證： JH? ? ? ? ? HAAHHA ?????? ???????????RS J0J ?1 [ ( ) ] d2 V A H A H V? ? ? ? ? ? ? ???? ????? SV SdHAdVHB ????? )(2121?? ?????? SV SdHAdVHA ????? )()(0)1(~)11(~)( 2 ????? ? RodSRRoSdHAS S???BA? ? ??? ?????? VVm dVAHdVAJW ???? )(2121)1(~)。1(~ 2RoHRoA第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 例 同軸電纜的 內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a， 外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為 b和 c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流 I ，試求同軸電纜中單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量與自感。 解 ：由安培環(huán)路定律，得 2222202220IeaaIe a bHIce b ccbc???????????????????????? ???? ???????abc第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 222203 222 4 2 202 2 2 2 2( ) ( ) 2 d223ln4 ( ) 4 ( )cmbIcWcbI c c c bc b b c b? ?? ? ?????????? ??????????三個(gè)區(qū)域單位長(zhǎng)度內(nèi)的磁場(chǎng)能量分別為 22002 ( ) 2 d l n2 2 4bm aIIbWa?? ? ? ?? ? ????????????162)2(22020 201IdaIW am ?? ?第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 單位長(zhǎng)度內(nèi)總的磁場(chǎng)能量為 1 2 32 2 2 4 2 20 0 02 2 2 2 23l n l n1 6 4 4 ( ) 4 ( )m m m mW W W WI I Ib c c c ba c b b c b? ? ?? ? ?? ? ??? ?? ? ? ???????單位長(zhǎng)度的總自感 4 2 20 0 02 2 2 2 2 22 3l n l n8 2 2 ( ) 4 ( )mW b c c c bLI a c b b c b? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ???????內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感 內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感 外導(dǎo)體的內(nèi)自感 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 磁場(chǎng)力（不講） d d dS i i mW F g W?? 假定第 i 個(gè)回路在磁場(chǎng)力的作用下產(chǎn)生一個(gè)虛位移 dgi 。此時(shí)，磁場(chǎng)力做功 dA＝ Fidgi，系統(tǒng)的能量增加 dWm。根據(jù)能量守恒定律，有 式中 dWS是與各電流回路相連接的外電源提供的能量。 具體計(jì)算過程中，可假定各回路電流維持不變，或假定與各回路交鏈的磁通維持不變。 虛位移原理 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 1 . 各回路電流維持不變 ddi i mF g W? 若假定各回路中電流不改變，則回路中的磁鏈必定發(fā)生改變，因此兩個(gè)回路都有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。此時(shí)，外接電源必然要做功來克服感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)以保持各回路中電流不變。此時(shí)，電源所提供的能量 11d d ( ) dNNS i i i iiiW I I???????? 即 d 2 dSmWW?于是有 故得到 miiWFg??? 不變 I系統(tǒng)增加的磁能 1111d d ( ) d22NNm i i i iiiW I I????????第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 2. 各回路的磁通不變 ddi i mF g W??故得到 式中的“－”號(hào)表示 磁場(chǎng)力做功是靠減少系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量來實(shí)現(xiàn)的 。 若假定各回路的磁通不變，則各回路中的電流必定發(fā)生改變。由于各回路的磁通不變，回路中都沒有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，故與回路相連接的電源不對(duì)回路輸入能量，即 dWS＝ 0，因此 miiWFg???? ? 不變 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題及解的惟一性定理 邊值問題的類型 1| ( )S fS? ?2 22| ( )S fSn?? ??1 11| ( )S fS? ? 、2| ( )S fSn?? ??SV 數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為 初始條件 和 邊界條件 ，兩者又統(tǒng)稱為該方程的 定解條件 。靜態(tài)場(chǎng)的場(chǎng)量與時(shí)間無關(guān)，因此其 位函數(shù)所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。 根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的 位函數(shù) 就是 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題。 狄利克雷問題： 給定整個(gè)場(chǎng)域邊界上的位函數(shù)值 紐曼問題： 給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值 混合邊值問題： 給定一部分邊界上每一點(diǎn)的電位， 同時(shí)給定另一部分邊界上每一點(diǎn)的電位法向?qū)?shù)。 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 惟一性定理 惟一性定理的重要意義 對(duì)于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的 存在 、 穩(wěn)定 及 唯一性 問題 。 解的 存在 是指在給定的定解條件下 ， 方程是否有解 。 解的 穩(wěn)定性 是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí) ， 所求得的解是否會(huì)發(fā)生很大的變化 。 解的 唯一性 是指在給定的定解條件下所求得的解是否唯一 。 電磁場(chǎng)是客觀存在的 ， 因此位函數(shù)微分方程解的存在確信無疑 。 ? 唯一性定理為某些復(fù)雜電磁問題求解方法的建立提供了理論根據(jù)。鏡像法就是唯一性定理的直接應(yīng)用。 惟一性定理： 在給定邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí) ， 導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷 ， 而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布 。 非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解 ， 可以用等效電荷的電位替代 1. 問題的提出 幾個(gè)實(shí)例 接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷 ， 如圖所示 。 q q′ 非均勻感應(yīng)電荷 等效電荷 鏡像法 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷 ， 如圖 。 非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解 ， 可以用等效電荷的電位替代 接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷 。 情況與上例類似 ， 但等效電 荷為線電荷 。 q 非均勻感應(yīng)電荷 q′ 等效電荷 結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用 。 問題：這種等效電荷是否存在 ？ 這種等效是否合理 ？ 第 3章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問題的解 電磁場(chǎng)與電磁波 2. 鏡像法的概念 在一定條件下