【正文】 n h ( ) an U nxAxa n b a a??? ? 002 (1 c os )sinh( )4 , 1 , 3 , 5 ,sinh( )0 2 , 4 , 6 ,U nn n b aU nn n b an???????? ????? ?? ， 故得到槽內(nèi)的電位分布 01 , 3, 5 ,4 1( , ) s in h ( ) s in ( )s in h ( )nU n y n xxy n n b a a a??? ???? ? 1. 兩平行無限大導(dǎo)體平面，距離為 b ，其間有一極薄的導(dǎo)體片由 dy? 到 by? )( ????? z 。上板和薄片保持電位 0U ，下板保持零電位，求板間電位的解。設(shè)在薄片平面上，從 0?y 到 dy? ，電位 線性變化， 0(0, )y U y d? ? 。 0U y x o b d 題 4 .2 圖 2. 解 應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為 ( , )xy? ? 12( , ) ( , )x y x y??? 其中， 1( , )xy? 為不存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間（電壓為 0U ）的電位，即 10( , )x y U y b? ? ；2( , )xy? 是兩個電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時的電位，其邊界條件為 ① 22( , 0) ( , ) 0x x b???? ② 2( , ) 0 ( )x y x? ? ? ? ③ 002100( 0 )( 0 , ) ( 0 , ) ( 0 , )()UUy y y ddby y yUU y d y bb? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 根據(jù)條件①和②，可設(shè) 2( , )xy? 的通解為 2 1( , ) s in ( ) en xbnn nyx y A b??? ? ??? ? 39 由條件③有 001 00( 0 )sin ( )()nnUUy y y dny dbAUb U y d y bb???? ? ? ???? ?? ? ? ???? 兩邊同乘以 sin( )n y b? ，并從 0到 b 對 y 積分，得到 0002211( ) s in ( ) d ( 1 ) s in ( ) ddbndUU n y y n yA y y yb d b b b b b??? ? ? ??? 0 22 sin ( )()U b n dn d b??? 故得到 ( , )xy? ? 00 2212 1 s in ( ) s in ( ) e n xbnU b U n d n yyb d n b b ???? ? ??? ? 1. 如題（ a ）圖所示，在 0?z 的下半空間是介電常數(shù)為 ? 的介質(zhì)，上半空間為空氣，距離介質(zhì)平面距為 h處有一點電荷 q 。求（ 1） 0?z 和 0?z 的兩個半空間內(nèi)的電位；（ 2）介質(zhì)表面 上的極化電荷密度，并證明表面上極化電荷總電量等于鏡像電荷 q? 。 2. 解 （ 1）在點電荷 q 的電場作用下，介質(zhì)分界面上出現(xiàn)極化電荷，利用鏡像電荷替代介質(zhì)分界面上的極化電荷。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷分布為（如題圖（ b ）、（ c ）所示） 00qq???????? ? ，位于 hz ?? 00qq??????? ? ? ， 位于 hz? 題 4 . 2 4 圖（ b ） ) 圖 2 . 1 3 z q ? h ? h q? 1R P R? o 題 4 . 2 4 圖（ a ） z q ? h o 0? z 0? h 0? qq ??? 2R P o 題 4 . 2 4 圖（ c ） ) 40 上半空間內(nèi)的電位由點電荷 q 和鏡像電荷 q? 共同產(chǎn)生，即 10 1 002 2 2 20044114 ( ) ( )qqRRqr z h r z h? ? ? ? ???? ? ? ???????????????? ? ? ??? 下半空間內(nèi)的電位由點電荷 q 和鏡像電荷 q? 共同產(chǎn)生，即 2 2220 14 2 ( ) ()q q qR r z h? ? ? ? ? ?????? ? ?? （ 2）由于分界面上無自由電荷分布，故極化電荷面密度為 ? ?1 2 0 0 1 2 0()p z z z zEE????? ? ? ? ?n P P 02100 2 2 3 20()() 2 ( ) ( )z hqz z r h????? ? ? ?? ???? ? ? ?? ? ? ? 極化電荷總電量為 0 2 2 3 2000()d 2 d d()P P PShq rq S r r rrh??? ? ? ???? ?? ? ? ? ??? ? ? 00()q q????? ??? ?? 1. 一個 半徑為 R 的導(dǎo)體球 帶有電荷量為 Q ，在球體外 距離球心 為 D 處有一個點電荷 q 。（ 1）求 點電荷 q 與導(dǎo)體球 之間的靜電力；（ 2）證明當(dāng) q 與 Q 同號，且 DRRD RDqQ ??? 2223)( 成立 時， F 表現(xiàn)為吸引力。 z R o 題 4 . 2 5 圖 qQ ??? q? q d? D 2. 解 （ 1） 導(dǎo)體球上除帶有電荷量 Q 之外，點電荷 q 還要在導(dǎo)體球上感應(yīng)出等量異號的兩種不同電荷。根據(jù)鏡像法，像電荷 q? 和 q? 的大小和位置分別為（如題圖所示） 41 qDRq ??? ， DRd 2?? qDRqq ?????? ， 0??d 導(dǎo)體球自身所帶的電荷 Q 則與位于球心的點電荷 Q 等效。故點電荷 q 受到的靜電力為 2200()4 ( ) 4q q q q Q qF F F Fq q q D qD d D?? ??? ??? ? ?? ? ?? ??????? ? ? 22 20()4q Q R D q RqD D D R D?????????????????? （ 2）當(dāng) q 與 Q 同號，且 F 表現(xiàn)為吸引力，即 0?F 時，則應(yīng)有 ? ?? ? 0)( 222 ???? DRDD RqD qDRQ 由此可 得出 DRRD RDqQ ??? 2223)( 1. 如題 所示圖，無限長直線電流 I 垂直于磁導(dǎo)率分別為 1? 和 2? 的兩種磁介質(zhì)的分界面，試求（ 1）兩種磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強度 1B 和 2B ；（ 2）磁化電流分布。 2. 解 （ 1）由安培環(huán)路定理，可得 2Ir? ??He 所以得到 010 2 Ir? ?? ???B H e 2 2 Ir? ?? ???B H e 10??? 2??? I x z 題 5 .8 圖 42 （ 2）磁介質(zhì)在的磁化強度 0200()1 2 Ir? ??? ? ??? ? ?M B H e 則磁化電流體密度 00()1 d 1 d 1( ) ( ) 0d 2 dm z z Ir M rr r r r r? ?????? ? ? ? ? ? ?J M e e 在 0?r 處， 2B 具有奇異性，所以在磁介質(zhì)中 0?r 處存在磁化線電流 mI 。以 z 軸為中心、 r 為半徑作一個圓形回路 C ，由安培環(huán)路定理，有 001 dmCIII ???? ? ? ?? Bl 故得到 ?mI 0( 1)I?? ? 在磁介質(zhì)的表面上，磁化電流面密度為 0mS z z==?J M e00()2r Ire ????? 1. 如題圖所示，一環(huán)形螺線管的平均半徑 150?r cm，其圓 形截面的半徑 2?a cm，鉄芯的相對磁導(dǎo)率1400r? ? ，環(huán)上繞 1000?N 匝線圈，通過電流 AI ? 。 （ 1）計算螺旋管的電感； （ 2）在鉄芯上開一個 ?l 的空氣隙，再計算電感。（假設(shè)開口后鉄芯的 r? 不變） （ 3）求空氣隙和鉄芯內(nèi)的磁場能量的比值。 2. 解 （ 1）由于 0ra?? ，可認(rèn)為圓形截面上的磁場是均勻的，且等于截面的中心處的磁場。 由安培環(huán)路定律，可得螺線管內(nèi)的磁場為 02NIH r?? 與螺線管鉸鏈的磁鏈為 2202a N IN S H r????? 1? 2? h? l? )( 11 PH )( 12 PH )( 22 PH )( 21 PH 題 5 . 9 圖 0r 0l I a o 題 5 .1 2 圖 43 故螺線管的電感為 2202aNL Ir???? 7 2 21400 4 10 10002 H? ?? ? ? ???? （ 2）當(dāng)鐵芯上開有小空氣隙時，由于可隙很小，可忽略邊緣效應(yīng)，則在空氣隙與鉄芯的分界面上，磁場只有法向分量。根據(jù)邊界條件，有 0B B B???，但空氣隙中的磁場強度 0H 與鐵芯中的磁場強度 ?H 不同。根據(jù)安培環(huán)路定律，有 0 0 0 0( 2 )H l H r l N I? ?? ? ? 又由于 0 0 0BH?? 、 0 rBH????? 及 BBB ?? ?0 ，于是可得 00 0 0(2 )rrNIB l r l????? ?? 所以螺線管內(nèi)的磁鏈為 2200 0 0( 2 )rra N IN S B l r l?? ?? ???? ?? 故螺線管的電感為 2200 0 0( 2 )rraNL I l r l?? ?? ???? ?? 2 7 2 24 1 0 1 4 0 0 0 . 0 2 1 0 0 0 0 . 9 4 4 H1 4 0 0 0 . 0 0 1 2 0 . 1 5 0 . 0 0 1? ??? ? ? ?? ? ? ? ? （ 3）空氣隙中的磁場能量為 20 0 0 012mW H Sl?? 鉄芯中的磁場能量為 20 0 01 ( 2 )2mrW H S r l??? ? ??? 故 44 00001 4 0 0 0 . 0 0 1 1 . 4 8 72 2 0 . 1 5 0 . 0 0 1mrmWlW r l???? ?? ? ?? ? ? 1. 一根半徑為 a的長圓柱形介質(zhì)棒放入均勻磁場 0zB?Be 中與 z軸平行。設(shè)棒以角速度 ? 繞軸作等速旋轉(zhuǎn)，求介質(zhì)內(nèi)的極化強度、體積內(nèi)和表面上單位長度的極化電荷。 2. 解 介質(zhì)棒內(nèi)距軸線距離為 r處的感應(yīng)電場為 00zrr r B? ??? ? ? ? ?E v B e e B e 故介質(zhì)棒內(nèi)的極化強度為 0 0 0 0 0( 1 ) ( )e r r rr B r B? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?P E e eX 極化電荷體密度為 2000011( ) ( )2( )P rP r Br r r rB? ? ? ?? ? ???? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?P 極化電荷面密度為 0 0 0 0( ) ( )P r r rae r a B? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?P n B e 則介質(zhì)體積內(nèi) 和表面上同單位長度的極化電荷分別為 22 002 001 2 ( )2 1 2 ( )PPP S PQ a a BQ a a B? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1. 一圓柱形電容器，內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為 b，長為 l。設(shè)外加電壓為 0sinUt? ，試計算電容器極板間的總位移電流，證明它等于電容器的傳導(dǎo)電流。 2. 解 當(dāng)外加電壓的頻率不是很高時，圓柱形電容器兩極板間的電場分布與外加直流電壓時的電場分布可視為相同（準(zhǔn)靜態(tài)電場），即 0 sinln ( )r Utr b a??Ee 故電容器兩極板間的位移電流密度為 0 c o sln ( )dr Utt r b a???????DJe 則 2 000c o sd d dl n ( )ld d r rsUti r zr b a? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?J S e e 45 002 c o s c o sl n ( )l U t C U tba?? ? ? ? ??? 式中， 2ln( )lC ba??? 是長為 l的圓柱形電容器的電容。 流過電容器的傳導(dǎo)電流為 0d c o sdc Ui C C U tt ???? 可見 dcii? 1