【正文】 量場沿某一在閉合曲線的環(huán)量，是與矢量場在那個區(qū)域的旋渦源分布有關，同時也與閉合曲線的取法有關。環(huán)量只能描繪這種關系的較大范圍的情況。需要引入矢量場旋度的概念。 ? (一 ) 旋度的定義 ? 定義：矢量場中，在任意點的 鄰域內(nèi)，取任意有向閉合路徑， 限定曲面為 ，取 為的單位法 向矢量 ，周界的環(huán)繞方向與方 向成右手螺旋關系，如果不論曲面的形狀如何，只要無限收縮于 點時下列極限存在 圖 110 矢量場的環(huán)量 S? S?0nM （ 175） 稱此極限為場在點處繞方向的 渦量（或稱環(huán)量密度 ），把這些渦量的最大值以及取到最大值的方向所構成的一個矢量，稱為 場在點的旋度 (Curl or Rotation)，記作 ，或 ，讀作旋度 F。 環(huán)量面密度是一個標量，而旋度是個矢量。矢量場中點處的旋度，在任一方向上的投影就等于點以 為法向的上的環(huán)量面密度。即 （ 176） 0dl im ls s????? FlrotF curlF0n? ?000r o t l i m lSnds????? ??FlFn (二 ) 旋度在直角坐標系中的表示式 ? 在直角坐標系下 （ 177） （ 178） ? 利用高等數(shù)學中學過的格林公式 xyzO( , )z f xy?圖 111 曲面積分與線積分關 系示意圖 d d d dx y zx y z? ? ?l e e ed d d dx y zll F x F y F z? ? ? ???Fl? ?( , , )d , , ( , ) dxxl F x y z x F x y f x y x????d d d dlSQPP x Q y x yxy????? ? ?????????? ?, , ( , )( , , ) d dddxyxyxxlDxxyDF x y f x yF x y z d x x yyFFf x yyz?????????? ? ?????????? 又對于曲面 S來說，其方程為 ，假設其上任一點的法向單位矢量的方向余弦為 ，則有 （ 180） 且有 （ 181） ? 得 （ 182） 將（ 182）代入到（ 179）式得 （ 183） ? 同理可證： ( , )z f x y?? ?c o s , c o s , c o s? ? ?c o s c o s c o s1xyff? ? ????? ?d d c o s d , d d c o s d , d d c o s dy z s x z s x y s? ? ?? ? ?c osd d d d d dc os yx z x y f x y?? ?? ? ?d d d dxxxl S SFFF d x x z x yzy????? ? ? ? 組合（ 181）（ 182）式，利用（ 180）式得 ? 由（ 175）式，當 時 ， ，所以有 d d d dyyyl S SFFF d y x y y zxz????? ? ?d d d dzzzl S SFFF d z y z x zyx????? ? ?*d c o s c o s c o s dc o s c o s c o sy xxz z zLSy xxz z zMF FFF F FSy z z x z xF FFF F FSy z z x z x? ? ?? ? ?? ? ??? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ??? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?????Fl0S?? *MM?00dr ot l i m c os c os c osyy xxL z zS FF FFFFS y z z x x y? ? ???? ??? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? FlFn? 得旋度在直角坐標系中的表示式 （ 186） 由上式看出， 剛好等于哈密頓算子與矢量的矢積，即 一個矢量函數(shù)的旋度仍然是一個矢量函數(shù)， 可以用來描述場在空間的變化規(guī)律。旋度描述的是空間各點上場與漩渦源的關系。 r o t yyxxzz x y zFFFFFFy z z x x y??? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?F e e erotF? ?r otx y z x x y y z zx y zx y zF F Fx y zx y zF F F??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ???? ? ?F e e e e e ee e eF（三） 旋度與散度的區(qū)別 ? （ 1） 一個矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)；一個矢量場的散度是一個標量函數(shù)。 ? （ 2） 旋度表示兩場中各點的場與漩渦源的關系。如果在矢量場所存在的全部空間里，場的旋度處處等于零，則這種場不可能有漩渦源，稱為無旋場或保守場。散度表示場中各點的場與通量源的關系。如果在矢量場所充滿的空間里，場的散度處處為零，則場不可能有通量源，稱為管形場或無源場。靜電場是無旋場，而磁場是管形場。 ? （ 3） 矢量場的分量只對求偏導數(shù)，旋度描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律。散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。 （四） 旋度的基本運算公式 ? （ C為常矢量） （ 188） ? （ C為常數(shù)） （ 189） ? （ 190） ? （ u為標量函數(shù)） （ 191） （ 192） ?? ?C0? ?CC? ? ? ? ?FF? ? GFGF ?????????? ?u u u? ? ? ? ? ? ? ?F F F? ? GFFGGF ??????????? 3 斯托克斯（ Stokes）定理 ? 對于矢量場所在的空間中任一個以為周界的曲面，存在以下關系 （ 193） 這就是 斯托克斯定理 。它的意義是：任意矢量場的旋度沿場中任意一個以為周界的曲面的面積分，等于矢量場沿此周界的線積分。在任意曲面的通量等于沿該曲面的周界的環(huán)量。 斯托克斯定理的證明同高斯散度定理的證明十分相似。 如圖 112所示，在矢量場中，任取一個非閉合曲面它的周界長度是 ，把分成許多面積元。對于其中任一個面積元，其周界面為 ，應用旋度的定義式 ? ? ddsl? ? ? ? ???F s F llil?（ 176）有 在 的條件下，下式成立 ? 曲面上的通量，就是把上式兩端分別求和 （ 194） 上式左端求和時，各面積元之 間的公共邊上都經(jīng)過兩次積分， 但因公共邊上的相同而積分元方 向相反，即所以兩者的積分值相互抵消。 ? ?0 dl i m iils is????? ? ? ??? 0iFlFn圖 112 斯托克斯定 理示意圖 0?? is? ? ? ?00d l im l imi ii iil sss? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 0iF l F n F s? ??? ?? ??? ??????? Ni isNi l ii 1 01l i m sFdlF 曲面的周界上的各個線元的積分不被抵消。即 ? 于是得 ? 這就從幾何的角度直觀地解釋了斯托克斯定理。 1ddiNlli ?? ? ? ?? ??F l F l? ? ? ?01l i m diNi ssi????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?F s F s? ?sldd? ? ? ? ???F s F l【 例 17】 矢量場 ,試求它沿閉合曲線上的環(huán)量并驗證斯托克斯定理。是一條星形線，其參量方程是： 。 【 解 】 由矢量方程： ，可解得 （ C為任意函數(shù)） 所以矢量線是一族以坐標原點為中心的平面圓。 ? 先計算環(huán)量： 由閉合曲線的參量方程得 xyyx? ? ?F e e?? 33 s in,c o s ayax ??ddxyxyFF?Cyx ?? 22? ? ? ? ? ?d x y x yl l ly x d x d y y d x x d y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?F l e e e e? ?? ?3232d d c o s 3 c o s s i n dd d s i n 3 s i n c o s dx a ay a a? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ???? 沿曲線一周 ? 再用公 式 計算的通量： 由于 由 的參量方程可得 。由于對稱關系，上述以為周界的面積分值等于第一象限中的四倍，所以 ? ?2 2 2 4 2 2 4 20 3d 3 c o s s in 3 s in c o s d 4l a a a? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???Fl? ? ds ? ? ?? F